Considere as funções
e
.
a) Caso existam, obtenha intervalos que contenha as raízes das funções acima.
b) Caso exista, determinar uma aproximação para pelo menos uma das raízes das funções acima, utilizando o Método da bisseção, com uma tolerância
.
c) Caso exista, determinar uma aproximação para pelo menos uma das raízes das funções acima, utilizando o Método da secante, com uma tolerância
.
d) Caso exista, determinar uma aproximação para pelo menos uma das raízes das funções acima, utilizando o Método da Newton, com uma tolerância
.
a) Caso existam, obtenha intervalos que contenha as raízes das funções acima.
b) Caso exista, determinar uma aproximação para pelo menos uma das raízes das funções acima, utilizando o Método da bisseção, com uma tolerância
c) Caso exista, determinar uma aproximação para pelo menos uma das raízes das funções acima, utilizando o Método da secante, com uma tolerância
d) Caso exista, determinar uma aproximação para pelo menos uma das raízes das funções acima, utilizando o Método da Newton, com uma tolerância
Passo 1
O enunciado fornece quatro funções e pede quatro coisas:
- Listar, quando existirem, intervalos que contenham raízes de cada função (parte (a)).
- Para pelo menos uma raiz existente (entre as quatro funções), obter uma aproximação por bisseção com tolerância
(parte (b)). - Para pelo menos uma raiz existente, obter uma aproximação pela secante com tolerância
(parte (c)). - Para pelo menos uma raiz existente, obter uma aproximação pelo método de Newton com tolerância
(parte (d)).
As funções dadas são:
Vou primeiro identificar intervalos onde cada função muda de sinal (existência de raízes pelo Teorema do Valor Intermediário). Só então aplico os métodos numéricos pedidos. Não inicio nenhum método numérico ainda neste passo — apenas enumerei claramente as perguntas e as funções e indiquei o plano.
Passo 2
Encontrar intervalos com mudança de sinal (ou seja, pontos
com
, etc.). Para cada função eu avalio-a em alguns pontos estratégicos e uso o Teorema do Valor Intermediário.
- Função
- Avaliações:
- Conclusões pelo TVI:
- Como
e , existe pelo menos uma raiz em . - Como
e , existe pelo menos uma raiz em .
- Como
- Portanto
tem pelo menos duas raízes reais; intervalos detectados: (podemos afinar, veja abaixo) e . Observação: ao avaliar e obtém-se e , então um intervalo mais estreito é .
- Função
(domínio ).
- Avaliações:
- Conclusão: existe pelo menos uma raiz em
. Como e é contínua em , existe exatamente (pelo menos) uma raiz positiva; o intervalo útil é .
- Função
- Avaliações:
- Conclusões:
- Como
e e (checar: ), há uma raiz em . - Como
e , há outra raiz em .
- Como
- Portanto detectei pelo menos duas raízes reais para
: uma em e outra em .
- Função
- Avaliações:
- Conclusão: existe pelo menos uma raiz em
. Pelo comportamento de polinomial dominante, esperamos uma única raiz real neste intervalo detectado; intervalo útil: .
Resumo dos intervalos encontrados que garantem existência de raízes (parte (a)):
-
: há raízes em e em . -
: há uma raiz em . -
: há raízes em e em . -
: há uma raiz em .
Passo 3
Explicação didática do Método da Bisseção e aplicação prática (parte (b)).
Breve aula (bisseção):
- O método da bisseção exige um intervalo
em que a função é contínua e . Pelo Teorema do Valor Intermediário há uma raiz em . - Em cada iteração calcula-se o ponto médio
. Se paramos; se a raiz está em , caso contrário em . - Erro máximo após
iterações é . Para alcançar tolerância em relação ao erro absoluto estimado pelo método, pode-se parar quando (ou equivalentemente quando o comprimento do intervalo ). - Variáveis:
e extremos; o ponto médio; critério de parada .
Vou aplicar bisseção com
. Para ser bem abrangente vou produzir uma aproximação para uma raiz de cada função usando os intervalos obtidos no Passo 2. Em cada caso paro quando
.
Aplicações (cada caso: mostro poucas iterações relevantes, suficientes para atingir a tolerância):
- Para
tomo .
- Comprimento inicial
. Necessitamos tal que , logo e . Faço 5 iterações: -
(negativo) ⇒ novo intervalo . -
(negativo) ⇒ novo intervalo . -
(positivo) ⇒ novo intervalo . -
(positivo) ⇒ novo intervalo . - Agora
. Paro e tomo aproximação como o ponto médio final:
-
- Para
tomo .
- Largura
. Necessitamos ⇒ . Faço 7 iterações: -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . - Agora
. Aproximação final:
-
- Para
uso o intervalo .
- Largura
. Necessitamos . Faço 7 iterações: -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
que fica entre os sinais e reduz o intervalo para com . Aproximação:
-
- Para
tomo .
- Largura
, . Faço 7 iterações: -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . -
⇒ intervalo . - Agora
. Aproximação:
-
Sumarizando as aproximações por bisseção (tolerância
):
-
. -
. -
. -
.
Passo 4
Explicação didática do Método da Secante e aplicação (parte (c)).
Breve aula (secante):
- A secante é um método que usa duas aproximações anteriores
e e a fórmula - Comparado com Newton, não exige cálculo da derivada, mas precisa de duas aproximações iniciais e a função não deve ter
. - Critério de parada que vou usar:
com .
Aplicação escolhida: vou calcular uma aproximação da raiz positiva de
(aquela em torno de
) usando secante com pontos iniciais próximos obtidos pela bisseção:
e
. Isso é prático porque
e
já foram avaliados nas iterações da bisseção.
Iterações (mostrando valores usados, com arredondamento suficiente para atingir a tolerância):
- Dados iniciais:
- Primeira iteração:
Diferença . - Segunda iteração:
- Avaliando
(usando valores já aproximados) obtém-se .
Diferença . Critério satisfez. - Avaliando
- Assim a secante fornece, com
, a aproximação
Observação prática: secante convergiu rapidamente (em poucas iterações) porque começamos com pontos bem próximos da raiz. O valor reportado tem precisão adequada ao critério
.
Passo 5
Explicação didática do Método de Newton e aplicação (parte (d)).
Breve aula (Newton):
- O método de Newton (ou Newton–Raphson) usa a derivada da função. A iteração é
- Requer uma aproximação inicial razoável; converge tipicamente muito rápido (ordem quadrática) quando perto da raiz e
. - Critério de parada usado:
com .
Aplicação escolhida: vou aplicar Newton à mesma raiz positiva de
(aonde
), porque já temos boas aproximações das etapas anteriores. A derivada é
Começo com a aproximação obtida pela secante
(já dentro de
da raiz). Faço iterações até
.
Iterações (exibindo cálculos principais):
- Avalio
e em :
- Newton:
Diferença . - Segunda iteração:
-
é muito pequeno (da ordem de ou menor) devido à convergência quadrática; consequentemente o próximo passo muda numa escala muito menor que . - Portanto
satisfaz e podemos considerar convergido.
-
- Resultado final (com tolerância
):
Comentário prático e encorajamento: o Newton convergiu muito rápido porque a aproximação inicial (vindos da secante/bisseção) já estava próxima da raiz. Em provas, essa combinação (bisseção para garantir um intervalo e depois Newton/ secante para acelerar) é uma ótima estratégia: segurança + rapidez.
Resposta
(a)
\n
(d) )
(d)