Uma senha é formada por 4 dígitos distintos, escolhidos entre os algarismos de 1 a 8. A senha não pode começar com um número par e não pode ter o dígito 5 em nenhuma posição. Quantas senhas diferentes podem ser formadas com essas condições?
a) 180
b) 210
c) 240
d) 300
a) 180
b) 210
c) 240
d) 300
Passo 1
O enunciado pede quantas senhas de 4 dígitos distintos podem ser formadas, com as seguintes informações dadas:
- Os dígitos possíveis são os algarismos de
a . - O dígito
não pode aparecer em nenhuma posição. - A senha não pode começar com um número par (ou seja, o primeiro dígito não pode ser
). - Os quatro dígitos precisam ser distintos (sem repetição).
A pergunta final é: quantas senhas diferentes satisfazem essas condições?
Passo 2
Vamos escolher um método simples: contagem por posições usando o Princípio Fundamental da Contagem (ou Regra do Produto). Vou explicar isso rapidinho: se uma escolha pode ser feita de
maneiras e, após essa escolha, outra independente pode ser feita de
maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de
maneiras. Para
posições sucessivas, multiplicamos as opções de cada posição.
Também usamos o conceito de permutação sem repetição: ao escolher
elementos distintos e ordenar em
posições a partir de um conjunto de
elementos, o número de formas é
Aqui aplicaremos a ideia posição a posição (é a mesma coisa).
Passo 3
Primeiro elimino o dígito proibido
. Dos algarismos
(dados na imagem/enunciado), retirei o
. Portanto os algarismos disponíveis são
que totalizam
dígitos disponíveis. (Peguei esses dígitos diretamente do enunciado: “algorismos de 1 a 8” e a restrição “não pode ter o dígito 5”.)
Passo 4
Agora conto as opções para a primeira posição (o primeiro dígito): ele não pode ser par. Dos dígitos disponíveis
, os ímpares são
(repare que o
já foi excluído). Então há exatamente
opções possíveis para o primeiro dígito.
Passo 5
Depois de escolher o primeiro dígito (uma das 3 opções), restam
dígitos disponíveis para preencher as três posições restantes (segunda, terceira e quarta), porque temos que manter os dígitos distintos e o
já está fora do jogo. Essas três posições podem ser preenchidas por permutações de
elementos tirados de um conjunto de
, ou seja
Explicando: para a segunda posição temos
escolhas, depois para a terceira
escolhas (já que não podemos repetir), e para a quarta
escolhas.
Passo 6
Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem: o total de senhas é o produto das opções da primeira posição pelo número de maneiras de preencher as três posições restantes. Assim
Passo 7
Faço a multiplicação passo a passo:
Portanto o número total de senhas que satisfazem todas as condições é
. Observação: nenhuma das alternativas fornecidas na lista (a) 180, (b) 210, (c) 240, (d) 300 coincide com esse resultado; o resultado correto é
.
Resposta
360