Uma senha é formada por 4 dígitos distintos, escolhidos entre os algarismos de 1 a 8. A senha não pode começar com um número par e não pode ter o dígito 5 em nenhuma posição. Quantas senhas diferentes podem ser formadas com essas condições?
a) 180
b) 210
c) 240
d) 300

Passo 1

O enunciado pede quantas senhas de 4 dígitos distintos podem ser formadas, com as seguintes informações dadas:
  • Os dígitos possíveis são os algarismos de \,1 a \,8.
  • O dígito \,5 não pode aparecer em nenhuma posição.
  • A senha não pode começar com um número par (ou seja, o primeiro dígito não pode ser \,2,4,6,8).
  • Os quatro dígitos precisam ser distintos (sem repetição).
    A pergunta final é: quantas senhas diferentes satisfazem essas condições?

Passo 2

Vamos escolher um método simples: contagem por posições usando o Princípio Fundamental da Contagem (ou Regra do Produto). Vou explicar isso rapidinho: se uma escolha pode ser feita de a maneiras e, após essa escolha, outra independente pode ser feita de b maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de a\cdot b maneiras. Para k posições sucessivas, multiplicamos as opções de cada posição.
Também usamos o conceito de permutação sem repetição: ao escolher k elementos distintos e ordenar em k posições a partir de um conjunto de n elementos, o número de formas é
P(n,k)=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1).
Aqui aplicaremos a ideia posição a posição (é a mesma coisa).

Passo 3

Primeiro elimino o dígito proibido \,5. Dos algarismos \{1,2,3,4,5,6,7,8\} (dados na imagem/enunciado), retirei o \,5. Portanto os algarismos disponíveis são
\{1,2,3,4,6,7,8\},
que totalizam \,7 dígitos disponíveis. (Peguei esses dígitos diretamente do enunciado: “algorismos de 1 a 8” e a restrição “não pode ter o dígito 5”.)

Passo 4

Agora conto as opções para a primeira posição (o primeiro dígito): ele não pode ser par. Dos dígitos disponíveis \{1,2,3,4,6,7,8\}, os ímpares são \{1,3,7\} (repare que o \,5 já foi excluído). Então há exatamente
3
opções possíveis para o primeiro dígito.

Passo 5

Depois de escolher o primeiro dígito (uma das 3 opções), restam 7-1=6 dígitos disponíveis para preencher as três posições restantes (segunda, terceira e quarta), porque temos que manter os dígitos distintos e o \,5 já está fora do jogo. Essas três posições podem ser preenchidas por permutações de 3 elementos tirados de um conjunto de 6, ou seja
P(6,3)=6\cdot 5\cdot 4.
Explicando: para a segunda posição temos 6 escolhas, depois para a terceira 5 escolhas (já que não podemos repetir), e para a quarta 4 escolhas.

Passo 6

Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem: o total de senhas é o produto das opções da primeira posição pelo número de maneiras de preencher as três posições restantes. Assim
\text{total}=3\cdot (6\cdot 5\cdot 4).

Passo 7

Faço a multiplicação passo a passo:
6\cdot 5=30,\qquad 30\cdot 4=120,
3\cdot 120=360.
Portanto o número total de senhas que satisfazem todas as condições é \,360. Observação: nenhuma das alternativas fornecidas na lista (a) 180, (b) 210, (c) 240, (d) 300 coincide com esse resultado; o resultado correto é \,360.

Resposta

360

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