A partir dos dados abaixo, e admitindo que há uma relação linear entre as variáveis x e y , ajuste uma reta y=a_{0}+a_{1} x que “ajuste” os pontos conforme tabela abaixo:
xi 10 11 12 9 15
yi 8 6 5 5 2
Considere quatro casas decimais.
(A) y=13,4811-0,7264 x
(B) y=10,001-0,9024 x
(C) y=11,084-0,6667 x
(D) y=14,6912+0,5863 x
(E) y=-11,046-0,7969 x

Passo 1

O enunciado pede que, a partir dos pontos da tabela, seja ajustada uma reta do tipo y=a_{0}+a_{1}x assumindo relação linear entre x e y. As informações dadas são os pares (x_i,y_i):
(10,8),\\ (11,6),\\ (12,5),\\ (9,5),\\ (15,2).
A pergunta implícita é: qual é a reta ajustada por mínimos quadrados (coeficientes a_{0} e a_{1}) e qual alternativa dentre (A)–(E) corresponde a essa reta? Devemos apresentar resposta com quatro casas decimais.

Passo 2

O método que vamos usar é o ajuste por mínimos quadrados (reta de regressão linear simples). Vou explicar as fórmulas e o que cada termo significa.
Se temos n pares (x_i,y_i), definimos as médias
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i.
As quantidades auxiliares usadas são
S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2, \qquad S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}.
A inclinação (coeficiente angular) a_{1} e o intercepto (coeficiente linear) a_{0} são dados por
a_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad a_{0}=\bar{y}-a_{1}\bar{x}.
Explicação intuitiva rápida: S_{xx} mede a variabilidade de x e S_{xy} mede a covariância entre x e y. A razão dá a inclinação que minimiza a soma dos quadrados dos erros verticais.

Passo 3

Calcular as somas necessárias a partir dos dados (vou mostrar cada soma para você poder conferir passo a passo).
Número de pontos:
n=5.
Soma das abscissas:
\sum x_i = 10+11+12+9+15 = 57.
Soma das ordenadas:
\sum y_i = 8+6+5+5+2 = 26.
Soma dos quadrados de x:
\sum x_i^2 = 10^2+11^2+12^2+9^2+15^2 = 100+121+144+81+225 = 671.
Soma dos produtos x_i y_i:
\sum x_i y_i = 10\cdot 8 + 11\cdot 6 + 12\cdot 5 + 9\cdot 5 + 15\cdot 2 = 80+66+60+45+30 = 281.

Passo 4

Calcular as médias \bar{x} e \bar{y}:
\bar{x}=\frac{1}{5}\sum x_i=\frac{57}{5}=11{,}4, \qquad \bar{y}=\frac{1}{5}\sum y_i=\frac{26}{5}=5{,}2.
(Usei vírgula como separador decimal conforme solicitado.)

Passo 5

Calcular S_{xy} e S_{xx} usando as fórmulas:
S_{xy}=\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y} = 281 - 5\cdot 11{,}4 \cdot 5{,}2.
Calcule 5\cdot 11{,}4 \cdot 5{,}2:
11{,}4 \cdot 5{,}2 = 59{,}28, \qquad 5\cdot 59{,}28 = 296{,}4.
Logo
S_{xy} = 281 - 296{,}4 = -15{,}4.
Agora S_{xx}:
S_{xx}=\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 671 - 5\cdot (11{,}4)^2.
Calcule (11{,}4)^2 e em seguida 5 vezes:
(11{,}4)^2 = 129{,}96, \qquad 5\cdot 129{,}96 = 649{,}8.
Logo
S_{xx} = 671 - 649{,}8 = 21{,}2.

Passo 6

Calcular a inclinação a_{1}:
a_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{-15{,}4}{21{,}2}.
Fazendo a divisão:
\frac{15{,}4}{21{,}2}=0{,}7264150943\ldots
Portanto
a_{1}=-0{,}7264150943\ldots
Arredondando para quatro casas decimais:
a_{1}=-0{,}7264.

Passo 7

Calcular o intercepto a_{0}:
a_{0}=\bar{y}-a_{1}\bar{x}.
Substituindo \bar{y}=5{,}2, a_{1}=-0{,}7264150943\ldots e \bar{x}=11{,}4:
Primeiro calcule a_{1}\bar{x}:
-0{,}7264150943\ldots \times 11{,}4 = -8{,}28113207547\ldots
Então
a_{0}=5{,}2 -(-8{,}28113207547\ldots) = 5{,}2 + 8{,}28113207547\ldots = 13{,}48113207547\ldots
Arredondando para quatro casas decimais:
a_{0}=13{,}4811.

Passo 8

Escrever a reta ajustada com quatro casas decimais:
y = 13{,}4811 - 0{,}7264\,x.
Comparando com as alternativas dadas, essa expressão coincide com a alternativa (A).

Resposta

(A) y=13,4811-0,7264 x

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