Faça as conversões listadas abaixo.
3 \mathrm{E} 1 \mathrm{C}_{(16)}= _______ (2)

Passo 1

O enunciado dá o número hexadecimal 3E1C_{(16)} e pede a sua representação em base 2 (binário).
Ou seja: converter \;3E1C_{(16)}\; para \;(\cdot)_2.

Passo 2

Ideia principal (explicação rápida e didática): cada dígito hexadecimal representa um valor entre 0 e 15. Como 16=2^4, cada dígito hexadecimal corresponde exatamente a quatro bits binários. Assim, para converter um número em base 16 para base 2 basta substituir cada dígito hex por seu equivalente em 4 bits. Formalmente, se um dígito hex tem valor decimal d com 0\le d\le15, então ele pode ser escrito como
d = b_3 2^3 + b_2 2^2 + b_1 2^1 + b_0 2^0,
com b_i\in\{0,1\}. Esses b_3b_2b_1b_0 são os quatro bits que correspondem ao dígito hexadecimal.

Passo 3

Vamos converter dígito a dígito. Primeiro transformar cada dígito hex em seu valor decimal (quando necessário) e depois em 4 bits:
  • Dígito \,3: valor decimal \,3. Decomposição em potências de 2: 3=2+1=2^1+2^0. Em 4 bits:
3 \longrightarrow 0011.
  • Dígito \,E: em hexadecimal E corresponde a decimal \,14. Decomposição: 14=8+4+2=2^3+2^2+2^1. Em 4 bits:
E \longrightarrow 1110.
  • Dígito \,1: valor decimal \,1. Decomposição: 1=2^0. Em 4 bits:
1 \longrightarrow 0001.
  • Dígito \,C: em hexadecimal C corresponde a decimal \,12. Decomposição: 12=8+4=2^3+2^2. Em 4 bits:
C \longrightarrow 1100.

Passo 4

Agora concatenamos os blocos de 4 bits, mantendo a ordem dos dígitos hexadecimais:
3E1C_{(16)} \longrightarrow 0011\;1110\;0001\;1100_2.

Passo 5

Observação sobre zeros à esquerda: zeros à esquerda não alteram o valor numérico, então podemos eliminar os zeros iniciais até obter a forma binária mínima. Retirando os dois zeros iniciais obtemos:
11111000011100_2.

Passo 6

Verificação (opcional, para ganhar confiança): converter 3E1C_{(16)} para decimal e comparar. Calculando em base 16:
3\cdot 16^3 + 14\cdot 16^2 + 1\cdot 16^1 + 12\cdot 16^0 =12288+3584+16+12=15900.
O binário \;11111000011100_2\; vale
2^{13}+2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{4}+2^{3}+2^{2} =8192+4096+2048+1024+512+16+8+4=15900,
confirmação feita.

Resposta

11111000011100_2

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