Para o sistema abaixo faça o que se pede:
A=(rrrr 4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4 ) ; b=(l 1 1 1 1 )
Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Seidel, forneça a solução encontrada para k=3.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é resolver o sistema linear
A x = b
onde
A = 4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4 , b = 1111,
usando o método iterativo de Gauss–Seidel e parar na iteração .
Conteúdo: métodos iterativos para sistemas lineares, em especial Gauss–Seidel.
Para resolver, precisamos
  1. conhecer a fórmula de atualização de Gauss–Seidel;
  2. escolher um chute inicial (aqui a gente vai usar );
  3. aplicar a iteração três vezes.

Passo 2

Teoria rápida: Gauss–Seidel usa cada linha do sistema para atualizar em sequência as componentes de x1 = 1 + x24, x2 = 1 + x1 + x34, x3 = 1 + x2 + x44, x4 = 1 + x34 . Para nosso caso, as equações são
4x₁ – x₂ = 1
–x₁ + 4x₂ – x₃ = 1
–x₂ + 4x₃ – x₄ = 1
–x₃ + 4x₄ = 1.
Isolando cada x^(0) = (0,0,0,0)^T :
No Gauss–Seidel, a cada iteração você já usa o valor novo de para calcular , e assim por diante. Vamos começar com

Passo 3

Aplicando as fórmulas usando x1^(1) &= 1 + x2^(0)4 = 1+04 = 0.25, x2^(1) &= 1 + x1^(1) + x3^(0)4 = 1+0.25+04 = 0.3125, x3^(1) &= 1 + x2^(1) + x4^(0)4 = 1+0.3125+04 = 0.328125, x4^(1) &= 1 + x3^(1)4 = 1+0.3281254 = 0.33203125 :

Passo 4

Agora usamos x1^(2) &= 1 + x2^(1)4 = 1+0.31254 = 0.328125, x2^(2) &= 1 + x1^(2) + x3^(1)4 = 1+0.328125+0.3281254 = 0.4140625, x3^(2) &= 1 + x2^(2) + x4^(1)4 = 1+0.4140625+0.332031254 = 0.4365234375, x4^(2) &= 1 + x3^(2)4 = 1+0.43652343754 = 0.359130859375 :

Passo 5

E finalmente com x1^(3) &= 1 + x2^(2)4 = 1+0.41406254 = 0.353515625, x2^(3) &= 1 + x1^(3) + x3^(2)4 = 1+0.353515625+0.43652343754 = 0.447509765625, x3^(3) &= 1 + x2^(3) + x4^(2)4 = 1+0.447509765625+0.3591308593754 = 0.45166015625, x4^(3) &= 1 + x3^(3)4 = 1+0.451660156254 = 0.3629150390625 :

Resposta

Após x^(3) approx 0.353515625 0.447509765625 0.45166015625 0.3629150390625 iterações pelo método de Gauss–Seidel, a solução aproximada é

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