Para o sistema abaixo faça o que se pede:
A=(rrrr 4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4 ) ; b=(l 1 1 1 1 )
Verifique a convergência do sistema pelo critério de Sassenfeld

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é verificar se um método iterativo (tipo Gauss–Seidel ou Jacobi) vai convergir pra resolver o sistema
A x = b
onde
A= 4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4 , b=1111
O conteúdo aqui é o critério de Sassenfeld, que nos dá umas “pesadas” β_i e diz se elas ficam todas abaixo de 1. Se sim, tudo converge.

Passo 2

O critério de Sassenfeld diz que, para cada linha betai = 1aii l(sumji|aij|r) , definimos
Se , o sistema é garantido de convergir pelo método iterativo.

Passo 3

Vamos calcular beta1 = 14l(0 + |-1|r) = 14cdot1 = 0,25 .
Na primeira linha, só tem “de fora da diagonal” (não há j<1), então

Passo 4

Agora beta2 = 14l(|a21|beta1 + |a23|r) = 14l(1cdot0,25 + 1r) = 1,254 = 0,3125 e beta3 = 14l(|a32|beta2 + |a34|r) = 14l(1cdot0,3125 + 1r) = 1,31254 = 0,328125 :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Finalmente beta4 = 14l(|a43|beta3 + 0r) = 14cdot0,328125 = 0,08203125 e a checagem:
Agora, .

Resposta

Pelos valores de todos menores que 1, o critério de Sassenfeld garante que o método iterativo aplicado ao sistema converge.

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