Para o sistema abaixo faça o que se pede:
Verifique a convergência do sistema pelo critério de Sassenfeld
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é verificar se um método iterativo (tipo Gauss–Seidel ou Jacobi) vai convergir pra resolver o sistema
onde
O conteúdo aqui é o critério de Sassenfeld, que nos dá umas “pesadas” β_i e diz se elas ficam todas abaixo de 1. Se sim, tudo converge.
Passo 2
O critério de Sassenfeld diz que, para cada linha
betai = 1aii l(sumji|aij|r) , definimos
Se
, o sistema é garantido de convergir pelo método iterativo.
Passo 3
Vamos calcular
beta1 = 14l(0 + |-1|r) = 14cdot1 = 0,25 .
Na primeira linha, só tem “de fora da diagonal” (não há j<1), então
Na primeira linha, só tem
Passo 4
Agora
beta2 = 14l(|a21|beta1 + |a23|r) = 14l(1cdot0,25 + 1r) = 1,254 = 0,3125 e
beta3 = 14l(|a32|beta2 + |a34|r) = 14l(1cdot0,3125 + 1r) = 1,31254 = 0,328125 :
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Finalmente
beta4 = 14l(|a43|beta3 + 0r) = 14cdot0,328125 = 0,08203125 e a checagem:
Agora,
.
Resposta
Pelos valores de
todos menores que 1, o critério de Sassenfeld garante que o método iterativo aplicado ao sistema
converge.