Para o sistema dado, resolva-o (ou tente resolver!) usando cada um dos métodos a seguir. Nos itens b) e c), verifique inicialmente a convergência usando um critério de convergência apropriado e, a seguir, resolva-os usando varepsilon=0,001 e x^(0) a sua escolha:
c 2 x1+2 x2+x3+x4=7 x1-x2+2 x3-x4=1 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4=4 4 x1+3 x2+2 x3+x4=12
Gauss - Seidel

Passo 1

Beleza, temos um sistema 4×4 e queremos aplicá-lo no método de Gauss–Seidel. Isso cai em “Métodos Iterativos para Sistemas Lineares”. O que precisamos:
• Entender a ideia do Gauss–Seidel (atualizar cada variável usando o valor mais recente).
• Escolher um critério de convergência (aqui usamos o critério de Sassenfeld).
• Verificar se o sistema satisfaz esse critério. Se não satisfizer, o método não tem garantia de convergir.

Passo 2

Teoria rápida do que é o critério de Sassenfeld:
Para cada linha i do sistema betai=1|aii|l(sumji|aij|r) , definimos
Se , o Gauss–Seidel converge necessariamente. Se , não há garantia de convergência.

Passo 3

Vamos calcular as A= 2 & 2 & 1 & 1 1 & -1 & 2 & -1 3 & 2 & -3 & -2 4 & 3 & 2 & 1 para a matriz
  1. Linha 1 ( ):
  2. Linha 2 ( ):
  3. Linha 3 ( ):
  4. Linha 4 ( ):

Passo 4

Olha o que acontece: , que é bem maior que 1.
Ou seja, o nosso sistema não satisfaz o critério de Sassenfeld.

Resposta

Como , o método de Gauss–Seidel não tem garantia de convergência para esse sistema. Portanto, não podemos seguir a iteração até com segurança de chegar a uma solução.

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