Para o sistema dado, resolva-o (ou tente resolver!) usando cada um dos métodos a seguir. Nos itens b) e c), verifique inicialmente a convergência usando um critério de convergência apropriado e, a seguir, resolva-os usando varepsilon=0,001 e x^(0) a sua escolha:
c 2 x1+2 x2+x3+x4=7 x1-x2+2 x3-x4=1 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4=4 4 x1+3 x2+2 x3+x4=12
Gauss - Jacobi

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o método de Gauss‐Jacobi num sistema 4×4:
2x1+2x2+x3+x4=7 x1-x2+2x3-x4=1 3x1+2x2-3x3-2x4=4 4x1+3x2+2x3+x4=12
Conteúdo: método iterativo de Gauss‐Jacobi para resolver sistemas lineares.
O que precisamos:
  1. Reescrever cada xi isolado (forma iterativa).
  2. Verificar critério de convergência (a matriz ter dominância diagonal estrita, por exemplo).
  3. Escolher um chute inicial x^(0) e iterar até varepsilon=0,001 (se convergir).

Passo 2

Montando as fórmulas de iteração de Jacobi, isolamos cada incógnita em cada equação:
x1^(k+1)&=7-2,x2^(k)-x3^(k)-x4^(k)2, x2^(k+1)&=x1^(k)+2,x3^(k)-x4^(k)-1, x3^(k+1)&=3,x1^(k)+2,x2^(k)-4-2,x4^(k)3, x4^(k+1)&=12-4,x1^(k)-3,x2^(k)-2,x3^(k)

Passo 3

Critério de convergência (dominância diagonal estrita): em cada linha da matriz A a magnitude do pivô deve ser maior que a soma das magnitudes dos outros coeficientes.
Para nosso sistema, os pivôs são 2,,-1,,-3,,1 e as somas são
|2| vs |2|+|1|+|1|=4 → 2<4
|-1| vs |1|+|2|+|1|=4 → 1<4
|-3| vs |3|+|2|+|2|=7 → 3<7
|1| vs |4|+|3|+|2|=9 → 1<9
Em todas as linhas falha a dominância diagonal estrita ⇒ o método de Jacobi NÃO satisfaz o critério suficiente de convergência.

Passo 4

Mesmo escolhendo x^(0)=(0,0,0,0) e calculando algumas iterações, você verá as componentes “voando” para longe (diferenças crescentes), mostrando que não há estabilidade → não converge para nenhuma solução.

Resposta

O método de Gauss‐Jacobi não converge para este sistema, pois a matriz não é estritamente diagonalmente dominante.

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