Um sistema massa-mola possui as seguintes características: Está submetido a uma força de 10N, possui 10 kg de massa e a constante da mola é igual a
. Aproxime este sistema, sendo
e
e ache a solução para
, para
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: temos um sistema massa-mola com massa m = 10 kg, constante da mola k = 1/3 N/m e força externa constante F = 10 N. As condições iniciais são x(0)=0 e ṡx(0)=0,2 m/s. A gente quer aproximar a solução de x(t) para 0≤t≤1 s usando passo Δt=0,1 s.
Conteúdo: equações diferenciais (segunda ordem), método de Euler explícito para transformar em sistema de primeira ordem e iterar.
Conteúdo: equações diferenciais (segunda ordem), método de Euler explícito para transformar em sistema de primeira ordem e iterar.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação de Newton para o sistema:
Isolando a aceleração:
Agora a gente define v = ṡx para reescrever em primeira ordem:
Passo 3
Usamos o método de Euler explícito com Δt=0,1 s:
As condições iniciais são
Passo 4
Bora calcular iterativamente. Vou mostrar t, x_n e v_n em cada instante:
- t₀=0, x₀=0,0000, v₀=0,2000
- t₁=0,1, x₁=0,0200, v₁=0,3000
- t₂=0,2, x₂=0,0500, v₂≈0,3999
- t₃=0,3, x₃≈0,0900, v₃≈0,4998
- t₄=0,4, x₄≈0,1400, v₄≈0,5995
- t₅=0,5, x₅≈0,1999, v₅≈0,6990
- t₆=0,6, x₆≈0,2698, v₆≈0,7983
- t₇=0,7, x₇≈0,3497, v₇≈0,8974
- t₈=0,8, x₈≈0,4394, v₈≈0,9963
- t₉=0,9, x₉≈0,5390, v₉≈1,0948
- t₁₀=1,0, x₁₀≈0,6485, v₁₀≈1,1930
(Em cada linha: x_{n+1}=x_n+0,1·v_n e v_{n+1}=v_n+0,1·(1−x_n/30).)
Resposta
A aproximação pelo método de Euler para Δt=0,1 s gera, em
s,
x(1,0)≈0,6485 m e ṡx(1,0)≈1,1930 m/s. Os valores intermediários estão listados no passo anterior.
x(1,0)≈0,6485 m e ṡx(1,0)≈1,1930 m/s. Os valores intermediários estão listados no passo anterior.