Um sistema massa-mola possui as seguintes características: Está submetido a uma força de 10N, possui 10 kg de massa e a constante da mola é igual a 1 / 3. Aproxime este sistema, sendo x(0)=0 e dotx(0)=0,2 e ache a solução para 0 <= t <= 1 s, para De.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: temos um sistema massa-mola com massa m = 10 kg, constante da mola k = 1/3 N/m e força externa constante F = 10 N. As condições iniciais são x(0)=0 e ṡx(0)=0,2 m/s. A gente quer aproximar a solução de x(t) para 0≤t≤1 s usando passo Δt=0,1 s.
Conteúdo: equações diferenciais (segunda ordem), método de Euler explícito para transformar em sistema de primeira ordem e iterar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação de Newton para o sistema:
mddot x + k,x = F
Isolando a aceleração:
ddot x = F - k,xm = 1 - x30,,já que F=10,;k=tfrac13,;m=10á
Agora a gente define v = ṡx para reescrever em primeira ordem:
dot x = v, dot v = 1 - dfracx30

Passo 3

Usamos o método de Euler explícito com Δt=0,1 s:
xn+1 = xn + De
vn+1 = vn + De
As condições iniciais são , . A cada passo calculamos a aceleração , depois atualizamos v e x.

Passo 4

Bora calcular iterativamente. Vou mostrar t, x_n e v_n em cada instante:
  • t₀=0, x₀=0,0000, v₀=0,2000
  • t₁=0,1, x₁=0,0200, v₁=0,3000
  • t₂=0,2, x₂=0,0500, v₂≈0,3999
  • t₃=0,3, x₃≈0,0900, v₃≈0,4998
  • t₄=0,4, x₄≈0,1400, v₄≈0,5995
  • t₅=0,5, x₅≈0,1999, v₅≈0,6990
  • t₆=0,6, x₆≈0,2698, v₆≈0,7983
  • t₇=0,7, x₇≈0,3497, v₇≈0,8974
  • t₈=0,8, x₈≈0,4394, v₈≈0,9963
  • t₉=0,9, x₉≈0,5390, v₉≈1,0948
  • t₁₀=1,0, x₁₀≈0,6485, v₁₀≈1,1930
(Em cada linha: x_{n+1}=x_n+0,1·v_n e v_{n+1}=v_n+0,1·(1−x_n/30).)

Resposta

A aproximação pelo método de Euler para Δt=0,1 s gera, em s,
x(1,0)≈0,6485 m e ṡx(1,0)≈1,1930 m/s. Os valores intermediários estão listados no passo anterior.

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