Para os sistemas abaixo, obtenha uma solução utilizando métodos gráficos, se possível. Explique os resultados do ponto de vista geométrico. \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=3 \\\\ -2 x_{1}-4 x_{2}=6\end{array}\right.
utilizando métodos gráficos, se possível, e explicar o resultado do ponto de vista geométrico.
Informações dadas (explicitadas): \n
As duas equações lineares em duas incógnitas x_{1} e x_{2}. \n
Queremos a solução do sistema (os valores de x_{1} e x_{2}) e uma interpretação geométrica (como as retas se relacionam no plano).]
Passo 2
Transformar cada equação numa forma fácil de desenhar (forma “declive-intercepto” ou encontrar dois pontos por reta). Vou tratar x_{1} como a coordenada horizontal e x_{2} como a coordenada vertical (ou seja, x\equiv x_{1} e y\equiv x_{2} na intuição geométrica). \n
Para a primeira equação: x_{1}+x_{2}=3.
Isolando x_{2} obtemos x_{2}=3-x_{1}.
Isto é forma declive-intercepto: o coeficiente de x_{1} é o declive (slope) e o termo constante é o intercepto no eixo x_{2}. Aqui o declive é -1 e o intercepto é 3. \n
Dois pontos fáceis para desenhar essa reta: \n
para x_{1}=0 temos x_{2}=3 → ponto (0,3), \n
para x_{2}=0 temos x_{1}=3 → ponto (3,0).
Passo 3
Para a segunda equação: -2x_{1}-4x_{2}=6.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por -2 (isso torna mais claro o formato): x_{1}+2x_{2}=-3.
Aqui o declive é -\tfrac{1}{2} e o intercepto é -\tfrac{3}{2}. \n
Dois pontos fáceis para desenhar essa reta: \n
para x_{1}=0 temos x_{2}=-\tfrac{3}{2} → ponto (0,-\tfrac{3}{2}), \n
para x_{2}=0 temos x_{1}=-3 → ponto (-3,0).
Passo 4
Interpretação geométrica até aqui: \n
A primeira equação representa uma reta com declive -1 que corta o eixo x_{2} em 3. \n
A segunda representa uma reta com declive -\tfrac{1}{2} que corta o eixo x_{2} em -\tfrac{3}{2}. \n
Como os declives são diferentes (-1 e -\tfrac{1}{2}), as retas não são paralelas; portanto elas se cruzam em exatamente um ponto. Esse ponto de interseção é a solução única do sistema. Agora vamos achar coordenadas desse ponto.
Passo 5
Resolver algebricamente (eliminação) para obter precisamente o ponto de interseção — procedimento que corresponde ao encontro das duas retas: \n
Partimos do sistema original \begin{cases} x_{1}+x_{2}=3\\[4pt] -2x_{1}-4x_{2}=6 \end{cases}
Multiplicamos a primeira equação por -2 para facilitar a eliminação de x_{1} ou x_{2}: -2(x_{1}+x_{2})=-2\cdot 3 \quad\Rightarrow\quad -2x_{1}-2x_{2}=-6.
Agora subtraímos essa equação da segunda (ou fazemos segunda menos essa): (-2x_{1}-4x_{2}) - (-2x_{1}-2x_{2}) = 6 - (-6).
No lado esquerdo os termos com x_{1} se cancelam; sobra -4x_{2}+2x_{2}=-2x_{2}. No lado direito fica 6+6=12. Logo -2x_{2}=12.
Dividindo por -2 obtemos x_{2}=-6.]
Passo 6
Com x_{2}=-6, voltamos a uma das equações (a mais simples, por exemplo \;x_{1}+x_{2}=3\;) e encontramos x_{1}: x_{1}+(-6)=3\quad\Rightarrow\quad x_{1}=3+6=9.
Verificação rápida na segunda equação: -2\cdot 9 -4\cdot(-6) = -18 +24 =6,
que bate com o lado direito, portanto a solução está correta.
Passo 7
Interpretação geométrica final e comparação com outros casos (para fixar o conceito): \n
As duas retas têm declives diferentes, então há uma única interseção: geometricamente isso significa exatamente uma solução \,(x_{1},x_{2}). \n
Nesse sistema a interseção está em (9,-6), ou seja, a reta x_{2}=3-x_{1} e a reta x_{2}=-\tfrac{1}{2}x_{1}-\tfrac{3}{2} se cruzam nesse ponto. \n
Como contexto de estudo: se as retas tivessem o mesmo declive mas interceptos diferentes seriam paralelas e não haveria solução; se tivessem o mesmo declive e mesmo intercepto seriam coincidirem e haveria infinitas soluções. Aqui nenhum desses casos acontece porque os declives são -1 e -\tfrac{1}{2} (diferentes).