Para os sistemas lineares a seguir, proceda da seguinte forma:
(i) Aplique o Critério das linhas (fazendo permutações de linhas, caso necessário). Se este for satisfeito, use o método de Gauss-Jacobi para obter uma aproximação da solução.
(ii) Se o critério das linhas não for satisfeito, aplique o Critério de Sassenfeld (levando em conta permutações necessárias).
Se este for satisfeito, use o método de Gauss-Seidel para encontrar uma aproximação da solução.
Utilize como critério de parada \varepsilon=0.05.
(c) \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8 \\\\ 5 \\\\ 12\end{array}\right]
usando primeiro o Critério das Linhas (dominância diagonal, com permutações de linhas). Se não der, aplicamos o Critério de Sassenfeld (também permitindo permutações) e, se satisfeito, usamos Gauss–Seidel. O critério de parada será \varepsilon=0,05.
Passo 2
Verificamos se há permutação de linhas que torne cada linha estritamente diagonalmente dominante:
linha 1: |1| \stackrel{?}{>} |2|+|1|=3 (não);
linha 2: |0| \stackrel{?}{>} |2|+|1|=3 (não);
linha 3: |3|> |1|+|1|=2 (sim).
Nenhuma permutação faz todas as três linhas estritamente dominantes, logo o Critério das Linhas falha.
Passo 3
Passamos ao Critério de Sassenfeld. Primeiro escolhemos uma permutação de linhas que evite divisor zero na diagonal e maximize chance de \beta<1. Tomamos a ordem de equações
original linha 2: 2x_{1}+0x_{2}+1x_{3}=5
original linha 1: 1x_{1}+2x_{2}+1x_{3}=8
original linha 3: 1x_{1}+1x_{2}+3x_{3}=12.
As diagonais são a_{11}=2,\;a_{22}=2,\;a_{33}=3\neq0. Calculamos
Com chute inicial (0,0,0), iteramos até \max_{i}|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}|<0,05.
As primeiras iterações são:
k=0\to 1: (2{,}50,\;2{,}75,\;2{,}25)
k=1\to 2: (1{,}375,\;2{,}1875,\;2{,}8125)
k=2\to 3: (1{,}09375,\;2{,}046875,\;2{,}953125)
k=3\to 4: (1{,}02344,\;2{,}01172,\;2{,}98828)
k=4\to 5: (1{,}00586,\;2{,}00293,\;2{,}99707).
Na iteração 5, todos os incrementos ficaram abaixo de 0,05.
Resposta
A solução aproximada pelo método de Gauss–Seidel, com \varepsilon=0,05, é