Questão 4: Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{rrr} -9 & 5 & 6 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ -1 & 1 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 11 \\\\ 4 \\\\ -2 \end{array}\right]
a) Existe alguma permutação de linha ou colunas para o sistema acima que faz com que o Critério das Linhas seja satisfeito? Caso haja, resolva o sistema dado pelo método iterativo de Gauss-Jacobi \operatorname{com} \mathrm{x}^{(0)}=(0,0,0). e \varepsilon=0.01.
b) Existe alguma permutação de linha ou colunas para o sistema acima que faz com que o Critério de Sassenfeld seja satisfeito? Caso haja, resolva o sistema dado pelo método iterativo de Gauss-Seidel com \mathrm{x}^{(0)}=(0,0,0) e \varepsilon=0.01.

Passo 1

O sistema dado é
A x = b, \quad A = \begin{pmatrix} -9 & 5 & 6\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}11\\\ 4\\\ -2\end{pmatrix}.
O conteúdo envolve métodos iterativos lineares: Gauss–Jacobi com o Critério de Dominância Diagonal por Linhas e Gauss–Seidel com o Critério de Sassenfeld. Para cada critério, devemos verificar se alguma permutação de linhas e/ou colunas torna o critério satisfeito; só então podemos aplicar o método com x^{(0)}=(0,0,0) e \varepsilon=0{,}01.

Passo 2

Critério das Linhas exige, em cada linha i,
\lvert a_{ii}\rvert \;>\;\sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert.
Note que permutar colunas reordena apenas as entradas de cada linha (sem alterar seus valores absolutos) e permutar linhas muda sua posição, mas não seus somatórios. Nas linhas originais temos
\begin{aligned} \lvert a_{11}\rvert &=9,\quad |a_{12}|+|a_{13}|=5+6=11,\quad 9<11,\\\ \lvert a_{22}\rvert &=3,\quad |a_{21}|+|a_{23}|=2+1=3,\quad 3=3\\ (\text{não estrito}),\\\ \lvert a_{33}\rvert &=3,\quad |a_{31}|+|a_{32}|=1+1=2,\quad 3>2. \end{aligned}ã
Como nem a linha 1 (9<11) nem a linha 2 ( 3=3) podem se tornar estritamente dominantes por qualquer permutação, não há arranjo que satisfaça o Critério das Linhas.

Passo 3

Critério de Sassenfeld define
\beta_1=\frac{\sum_{j>1}|a_{1j}|}{|a_{11}|},\quad \beta_2=\frac{|a_{21}|\beta_1+\sum_{j>2}|a_{2j}|}{|a_{22}|},\quad \beta_3=\frac{|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2}{|a_{33}|},
e pede \max_i\beta_i<1. Na ordem original:
\beta_1=\frac{|5|+|6|}{9}=\frac{11}{9}>1.
Permutar colunas mudaria apenas qual coeficiente aparece em \beta_1, mas em todas as 3 possiblidades de escolha \tfrac{\text{soma dos outros dois}}{|\text{diag}|}>1. Logo não existe permutação de linhas ou colunas que faça \max\beta_i<1.

Resposta

a) Não existe permutação que satisfaça o Critério das Linhas; logo não se aplica Gauss–Jacobi com garantia de convergência.
b) Não existe permutação que satisfaça o Critério de Sassenfeld; logo não se aplica Gauss–Seidel com garantia de convergência.

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