a) Existe alguma permutação de linha ou colunas para o sistema acima que faz com que o Critério das Linhas seja satisfeito? Caso haja, resolva o sistema dado pelo método iterativo de Gauss-Jacobi \operatorname{com} \mathrm{x}^{(0)}=(0,0,0). e \varepsilon=0.01.
b) Existe alguma permutação de linha ou colunas para o sistema acima que faz com que o Critério de Sassenfeld seja satisfeito? Caso haja, resolva o sistema dado pelo método iterativo de Gauss-Seidel com \mathrm{x}^{(0)}=(0,0,0) e \varepsilon=0.01.
Passo 1
O sistema dado é
A x = b, \quad A = \begin{pmatrix} -9 & 5 & 6\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}11\\\ 4\\\ -2\end{pmatrix}.
O conteúdo envolve métodos iterativos lineares: Gauss–Jacobi com o Critério de Dominância Diagonal por Linhas e Gauss–Seidel com o Critério de Sassenfeld. Para cada critério, devemos verificar se alguma permutação de linhas e/ou colunas torna o critério satisfeito; só então podemos aplicar o método com x^{(0)}=(0,0,0) e \varepsilon=0{,}01.
Note que permutar colunas reordena apenas as entradas de cada linha (sem alterar seus valores absolutos) e permutar linhas muda sua posição, mas não seus somatórios. Nas linhas originais temos
Como nem a linha 1 (9<11) nem a linha 2 (3=3) podem se tornar estritamente dominantes por qualquer permutação, não há arranjo que satisfaça o Critério das Linhas.
Permutar colunas mudaria apenas qual coeficiente aparece em \beta_1, mas em todas as 3 possiblidades de escolha \tfrac{\text{soma dos outros dois}}{|\text{diag}|}>1. Logo não existe permutação de linhas ou colunas que faça \max\beta_i<1.
Resposta
a) Não existe permutação que satisfaça o Critério das Linhas; logo não se aplica Gauss–Jacobi com garantia de convergência.
b) Não existe permutação que satisfaça o Critério de Sassenfeld; logo não se aplica Gauss–Seidel com garantia de convergência.