Use o método de Runge-Kutta de quarta ordem com incrementos iguais a \Delta t=0,1 \mathrm{e} ache a solução numérica de
\begin{aligned} \frac{d \varphi}{d t}+\left(\frac{1}{t}\right) \varphi & =\frac{7}{t^{2}}+3 \\\ \varphi(1) & =\frac{3}{2} \end{aligned}
nos pontos 1,1 e 1,2 .

Passo 1

O problema é um valor inicial para a EDO
\frac{d\varphi}{dt} + \frac{1}{t}\varphi = \frac{7}{t^2} + 3, \qquad \varphi(1)=\frac{3}{2},
e a tarefa é aproximar \varphi(1{,}1) e \varphi(1{,}2) usando o método de Runge–Kutta de quarta ordem com passo \Delta t=0,1.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma
\frac{d\varphi}{dt} = f(t,\varphi)
onde
f(t,\varphi) = -\frac{1}{t}\,\varphi + \frac{7}{t^2} + 3,
e definimos
t_0 = 1,\quad \varphi_0 = \frac{3}{2}.

Passo 3

Primeiro passo de Runge–Kutta (de t_0=1 a t_1=1{,}1):
\begin{aligned} k_1 &= f\bigl(1,\;1{,}5\bigr) = -1\cdot1{,}5 +7 +3 = 8{,}5,\\\ k_2 &= f\bigl(1{,}05,\;1{,}5 + 0{,}05\cdot8{,}5\bigr) = f(1{,}05,\,1{,}925) \approx -\tfrac{1{,}925}{1{,}05} + \tfrac{7}{1{,}05^2} +3 \approx 7{,}5174,\\\ k_3 &= f\bigl(1{,}05,\;1{,}5 + 0{,}05\cdot7{,}5174\bigr) = f(1{,}05,\,1{,}87587) \approx 7{,}5646,\\\ k_4 &= f\bigl(1{,}1,\;1{,}5 + 0{,}1\cdot7{,}5646\bigr) = f(1{,}1,\,2{,}25646) \approx 6{,}7338. \end{aligned}
Então
\varphi_1 = \varphi_0 + \frac{\Delta t}{6}\bigl(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\bigr) =1{,}5 + \frac{0{,}1}{6}\bigl(8{,}5 + 2\cdot7{,}5174 + 2\cdot7{,}5646 + 6{,}7338\bigr) \approx 2{,}25663.

Passo 4

Segundo passo de Runge–Kutta (de t_1=1{,}1 a t_2=1{,}2):
\begin{aligned} k_1 &= f\bigl(1{,}1,\;2{,}25663\bigr)\approx 6{,}7338,\\\ k_2 &= f\bigl(1{,}15,\;2{,}25663 + 0{,}05\cdot6{,}7338\bigr) = f(1{,}15,\,2{,}59332) \approx 6{,}0368,\\\ k_3 &= f\bigl(1{,}15,\;2{,}25663 + 0{,}05\cdot6{,}0368\bigr) = f(1{,}15,\,2{,}55847) \approx 6{,}0680,\\\ k_4 &= f\bigl(1{,}2,\;2{,}25663 + 0{,}1\cdot6{,}0680\bigr) = f(1{,}2,\,2{,}86343) \approx 5{,}4749. \end{aligned}
Então
\varphi_2 = 2{,}25663 + \frac{0{,}1}{6}\bigl(6{,}7338 +2\cdot6{,}0368 +2\cdot6{,}0680 +5{,}4749\bigr) \approx 2{,}86360.

Resposta

\varphi(1{,}1)\approx 2{,}25663 \varphi(1{,}2)\approx 2{,}86360

Exercícios relacionados