Um modelo para um reator de batelada, no qual a penicilina é produzida por fermentação, foi derivado da seguinte forma:
\begin{aligned} & \frac{d \varphi}{d t}=13,1 \varphi-13,94 \varphi^{2} \\\ & \frac{d x}{d t}=1,71 \varphi \end{aligned}
\begin{aligned} & \varphi(0)=0,03 \\\ & x(0)=0,0 \end{aligned}
onde \varphi é a concentração adimensional da massa das células, z a concentração adimensional de penicilina e o tempo adimensional ( 0 \leq t \leq 1 ). Empregando um incremento \Delta t igual a 0,1 , determine os valores de \varphi ex usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem, para os intervalos de tempo 0,1 e 0,2 .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação logística
\frac{d\varphi}{dt}=13{,}1\,\varphi-13{,}94\,\varphi^{2}, \quad \varphi(0)=0{,}03,
e pede os valores de \varphi em t=0{,}1 e t=0{,}2 usando o método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo \Delta t=0{,}1. Para isso vamos aplicar a fórmula
\begin{aligned} k_{1}&=f\bigl(t_{n},\varphi_{n}\bigr),\\\ k_{2}&=f\Bigl(t_{n}+\tfrac{h}{2},\,\varphi_{n}+\tfrac{h}{2}k_{1}\Bigr),\\\ k_{3}&=f\Bigl(t_{n}+\tfrac{h}{2},\,\varphi_{n}+\tfrac{h}{2}k_{2}\Bigr),\\\ k_{4}&=f\bigl(t_{n}+h,\,\varphi_{n}+h\,k_{3}\bigr), \end{aligned}
e
\varphi_{n+1}=\varphi_{n}+\frac{h}{6}\bigl(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\bigr).

Passo 2

Primeiro passo t_{0}=0, \varphi_{0}=0{,}03, h=0{,}1:
\begin{aligned} k_{1}&=13{,}1\cdot0{,}03-13{,}94\cdot(0{,}03)^{2}=0{,}380454,\\\ k_{2}&=13{,}1\cdot\bigl(0{,}03+0{,}05\,k_{1}\bigr) -13{,}94\bigl(0{,}03+0{,}05\,k_{1}\bigr)^{2} =0{,}608880,\\\ k_{3}&=13{,}1\cdot\bigl(0{,}03+0{,}05\,k_{2}\bigr) -13{,}94\bigl(0{,}03+0{,}05\,k_{2}\bigr)^{2} =0{,}740900,\\\ k_{4}&=13{,}1\cdot\bigl(0{,}03+0{,}1\,k_{3}\bigr) -13{,}94\bigl(0{,}03+0{,}1\,k_{3}\bigr)^{2} =1{,}212550. \end{aligned}
Logo
\varphi_{1} =0{,}03+\frac{0{,}1}{6}\bigl(0{,}380454+2\cdot0{,}608880+2\cdot0{,}740900+1{,}212550\bigr) \approx0{,}101543.

Passo 3

Segundo passo t_{1}=0{,}1, \varphi_{1}\approx0{,}101543, h=0{,}1:
\begin{aligned} k'_{1}&=13{,}1\cdot0{,}101543-13{,}94\cdot(0{,}101543)^{2}=1{,}18602,\\\ k'_{2}&=13{,}1\cdot\bigl(0{,}101543+0{,}05\,k'_{1}\bigr) -13{,}94\bigl(0{,}101543+0{,}05\,k'_{1}\bigr)^{2} =1{,}74650,\\\ k'_{3}&=13{,}1\cdot\bigl(0{,}101543+0{,}05\,k'_{2}\bigr) -13{,}94\bigl(0{,}101543+0{,}05\,k'_{2}\bigr)^{2} =1{,}97710,\\\ k'_{4}&=13{,}1\cdot\bigl(0{,}101543+0{,}1\,k'_{3}\bigr) -13{,}94\bigl(0{,}101543+0{,}1\,k'_{3}\bigr)^{2} =2{,}67090. \end{aligned}
Portanto
\varphi_{2} =0{,}101543+\frac{0{,}1}{6}\bigl(1{,}18602+2\cdot1{,}74650+2\cdot1{,}97710+2{,}67090\bigr) \approx0{,}289945.

Resposta

\varphi(0{,}1)\approx0{,}1015 \varphi(0{,}2)\approx0{,}2899

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