Sobre a decomposição L L^{T} de uma matriz A de ordem n com elementos reais, é falso afirmar que:
Escolha uma opção:
a. É necessário que A seja simétrica e definida positiva.
b. Tal decomposição requer o cálculo de n raízes quadradas.
c. Para resolver um sistema linear A x=b, por meio de tal decomposição, é necessário realizar substituições sucessivas e substituições retroativas.
d. A pivotação parcial evita o cálculo da raiz quadrada de um número negativo.
e. A matriz L é triangular inferior e, impondo que os elementos da diagonal principal sejam positivos, L é única.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das afirmações sobre a decomposição de Cholesky (ou seja, A = L\,L^T para uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n}) é falsa. O conteúdo é a fatoração de Cholesky, usada quando A é simétrica e definida positiva, e as aplicações incluem o cálculo de raízes quadradas internas, a solução de sistemas lineares por substituições e a unicidade de L.

Passo 2

Verificamos a afirmação (a): “É necessário que A seja simétrica e definida positiva.” Isso é a condição clássica e obrigatória para existir decomposição L\,L^T. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Observamos a afirmação (b): “Tal decomposição requer o cálculo de n raízes quadradas.” No algoritmo de Cholesky, para cada i=1,2,\dots,n calcula-se
L_{ii} = \sqrt{\,A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1}L_{ik}^2\,},
totalizando exatamente n raízes quadradas. Logo, (b) é verdadeira.

Passo 4

Analisamos a afirmação (c): “Para resolver um sistema linear A x=b, por meio de tal decomposição, é necessário realizar substituições sucessivas e substituições retroativas.” Após fatorar A=L\,L^T, fazemos primeiro L\,y=b (substituição direta) e depois L^T x=y (substituição retroativa). Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

Examinamos a afirmação (d): “A pivotação parcial evita o cálculo da raiz quadrada de um número negativo.” Na fatoração de Cholesky não se usa pivotação parcial (essa técnica quebra a simetria e impede a forma L\,L^T); além disso, se A não for definida positiva, o problema não se resolve apenas com pivotação. Portanto, (d) é falsa.

Passo 6

Vemos a afirmação (e): “A matriz L é triangular inferior e, impondo que os elementos da diagonal principal sejam positivos, L é única.” Esse é um resultado padrão de Cholesky: com o sinal positivo na diagonal, L fica unicamente determinado. Logo, (e) é verdadeira.

Resposta

d. A pivotação parcial evita o cálculo da raiz quadrada de um número negativo.

Exercícios relacionados