Para a questão abaixo, faça a decomposição L L^{T} da matriz
\left[\begin{array}{rrr} 16 & -4 & 28 \\\\ -4 & 5 & -3 \\\\ 28 & -3 & 57 \end{array}\right]
Qual o valor de l_{33} ?
\bigcirc 5
4
1
2

Passo 1

O enunciado pede a decomposição de Cholesky A = L\,L^{T} para a matriz
A = \begin{pmatrix} 16 & -4 & 28 \\[6pt] -4 & 5 & -3 \\[6pt] 28 & -3 & 57 \end{pmatrix}
e em particular o valor de l_{33}. Vamos usar a fórmula padrão do método de Cholesky, que exige que A seja simétrica e definida positiva.]

Passo 2

Primeiro, confirmamos simetria e positiva-definição por menores principais:
1. a_{11}=16>0.
2. \det\!\begin{pmatrix}16 & -4\\\ -4 & 5\end{pmatrix} = 16\cdot5 - (-4)^{2} = 64>0.
3. \det(A)=256>0.
Logo A é simétrica definida positiva, e Cholesky vale.

Passo 3

Escrevemos
L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0\\[3pt] l_{21} & l_{22} & 0\\[3pt] l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix},
e calculamos a primeira coluna:
l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{16} = 4,\quad l_{21} = \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{-4}{4} = -1,\quad l_{31} = \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{28}{4} = 7.]

Passo 4

Agora a segunda coluna:
l_{22} = \sqrt{a_{22} - l_{21}^{2}} = \sqrt{5 - (-1)^{2}} = \sqrt{4} = 2,
l_{32} = \frac{a_{32} - l_{31}\,l_{21}}{l_{22}} = \frac{-3 - (7)(-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2.

Passo 5

Finalmente o elemento l_{33}:
l_{33} = \sqrt{a_{33} - l_{31}^{2} - l_{32}^{2}} = \sqrt{57 - 7^{2} - 2^{2}} = \sqrt{57 - 49 - 4} = \sqrt{4} = 2.

Resposta

2

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