Sobre integração numérica, podemos afirmar que:
- Na regra dos trapézios, os pesos da integração numérica são dados pelas integrais das bases da forma de Lagrange, enquanto na regra 1/3 de Simpson os pesos são dados pelas integrais das bases da forma de Newton;
- Quando uma grande quantidade
de nós de integração é conhecida, uma forma eficiente de obter uma aproximação para a integral definida nesses nós e interpolá-los por um polinômio de grau
e então integrar esse polinômio;
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente analisar duas afirmações sobre métodos de integração numérica (regra do trapézio e 1/3 de Simpson) e dizer se elas estão corretas ou não. O conteúdo aqui é Newton–Cotes (interpolações por polinômio para quadratura) e algumas noções de estabilidade numérica. Para resolver, vamos precisar:
- Entender como se obtêm os pesos na regra do trapézio e em Simpson (base de Lagrange vs. base de Newton).
- Conhecer por que interpolar num polinômio de grau alto em muitos pontos pode dar ruim.
Passo 2
Analisando a afirmação 1:
“Na regra dos trapézios, os pesos da integração numérica são dados pelas integrais das bases da forma de Lagrange, enquanto na regra 1/3 de Simpson os pesos são dados pelas integrais das bases da forma de Newton.”
“Na regra dos trapézios, os pesos da integração numérica são dados pelas integrais das bases da forma de Lagrange, enquanto na regra 1/3 de Simpson os pesos são dados pelas integrais das bases da forma de Newton.”
- Regra do trapézio e Simpson são ambas formulas de Newton–Cotes, que usam a forma canônica de Lagrange para construir o polinômio interpolador em pontos igualmente espaçados.
- Não existe “base de Newton” especificamente em Simpson; a forma usual é Lagrange em {x₀, x₁, x₂}.
Logo, a parte sobre Simpson usar base de Newton está incorreta.
Passo 3
Analisando a afirmação 2:
“Quando uma grande quantidade n de nós de integração é conhecida, uma forma eficiente de obter uma aproximação para a integral definida nesses nós é interpolá-los por um polinômio de grau n e então integrar esse polinômio.”
“Quando uma grande quantidade n de nós de integração é conhecida, uma forma eficiente de obter uma aproximação para a integral definida nesses nós é interpolá-los por um polinômio de grau n e então integrar esse polinômio.”
- Interpolação de grau elevado em muitos nós (regra de Newton–Cotes de alta ordem) sofre de Runge e instabilidade numérica: o polinômio “oscila” muito.
- Na prática, usa-se subdividir o intervalo (trapézio composto, Simpson composto) ou quadraturas mais sofisticadas (Gauss) em vez de grau n único.
Logo, essa estratégia não é eficiente nem recomendada para grandes n.
Resposta
Ambas as afirmações são falsas.