Sobre integração numérica, podemos afirmar que:
  • Na regra dos trapézios, os pesos da integração numérica são dados pelas integrais das bases da forma de Lagrange, enquanto na regra 1/3 de Simpson os pesos são dados pelas integrais das bases da forma de Newton;
  • Quando uma grande quantidade n de nós de integração é conhecida, uma forma eficiente de obter uma aproximação para a integral definida nesses nós e interpolá-los por um polinômio de grau n e então integrar esse polinômio;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente analisar duas afirmações sobre métodos de integração numérica (regra do trapézio e 1/3 de Simpson) e dizer se elas estão corretas ou não. O conteúdo aqui é Newton–Cotes (interpolações por polinômio para quadratura) e algumas noções de estabilidade numérica. Para resolver, vamos precisar:
  • Entender como se obtêm os pesos na regra do trapézio e em Simpson (base de Lagrange vs. base de Newton).
  • Conhecer por que interpolar num polinômio de grau alto em muitos pontos pode dar ruim.

Passo 2

Analisando a afirmação 1:
“Na regra dos trapézios, os pesos da integração numérica são dados pelas integrais das bases da forma de Lagrange, enquanto na regra 1/3 de Simpson os pesos são dados pelas integrais das bases da forma de Newton.”
  1. Regra do trapézio e Simpson são ambas formulas de Newton–Cotes, que usam a forma canônica de Lagrange para construir o polinômio interpolador em pontos igualmente espaçados.
  2. Não existe “base de Newton” especificamente em Simpson; a forma usual é Lagrange em {x₀, x₁, x₂}.
    Logo, a parte sobre Simpson usar base de Newton está incorreta.

Passo 3

Analisando a afirmação 2:
“Quando uma grande quantidade n de nós de integração é conhecida, uma forma eficiente de obter uma aproximação para a integral definida nesses nós é interpolá-los por um polinômio de grau n e então integrar esse polinômio.”
  1. Interpolação de grau elevado em muitos nós (regra de Newton–Cotes de alta ordem) sofre de Runge e instabilidade numérica: o polinômio “oscila” muito.
  2. Na prática, usa-se subdividir o intervalo (trapézio composto, Simpson composto) ou quadraturas mais sofisticadas (Gauss) em vez de grau n único.
    Logo, essa estratégia não é eficiente nem recomendada para grandes n.

Resposta

Ambas as afirmações são falsas.

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