Considere o sistema linear a seguir
\left[\begin{array}{ccc} 0,8 & -0,4 & 0 \\\\ -0,4 & 8,8 & -0,4 \\\\ 0 & -0,4 & 0,8 \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 41 \\\\ 25 \\\\ 105 \end{array}\right]
Justifique se é ou não possível resolvê-lo pelo método iterativo de Jacobi. Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com matriz dos coeficientes e o vetor second membro:
A=\begin{pmatrix} 0,8 & -0,4 & 0 \\\\ -0,4 & 8,8 & -0,4 \\\\ 0 & -0,4 & 0,8 \end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}41\\\ 25\\\ 105\end{pmatrix}.
A pergunta é: justifique se é ou não possível resolver esse sistema pelo método iterativo de Jacobi.
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • As entradas de A são \,a_{11}=0,8, \,a_{12}=-0,4, \,a_{13}=0, \,a_{21}=-0,4, \,a_{22}=8,8, \,a_{23}=-0,4, \,a_{31}=0, \,a_{32}=-0,4, \,a_{33}=0,8.
  • O vetor b é \,(41,25,105)^{T}.
  • Precisa-se justificar se o método de Jacobi converge (ou seja, se podemos usá‑lo com garantia de convergência).

Passo 2

O que é o método de Jacobi e qual é a condição de convergência que vamos usar (explicação didática).
Dividimos A em diagonal D e o restante R:
A = D + R,
onde D é a matriz diagonal formada pelos elementos diagonais de A e R=A-D contém os elementos fora da diagonal.
A iteração de Jacobi é dada por
x^{(k+1)} = D^{-1}(b - R x^{(k)}) = D^{-1}b - D^{-1}R\,x^{(k)}.
Aqui:
  • x^{(k)} é a aproximação na iteração k;
  • D^{-1}b é o termo constante da iteração;
  • -D^{-1}R é a matriz de iteração, que vou chamar de T_J:
T_J = -D^{-1}R.
Convergência: o método de Jacobi converge para qualquer chute inicial se e somente se o raio espectral de T_J satisfizer \rho(T_J)<1. Uma forma prática de garantir \rho(T_J)<1 é verificar que A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para cada linha i vale
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Outra via prática: usar a norma induzida \|\cdot\|_\infty. Se \|T_J\|_\infty<1 então \rho(T_J)\le\|T_J\|_\infty<1, logo há convergência.

Passo 3

Calculo de D, R e T_J explicitamente (mostrando cada passo).
A diagonal D é
D=\begin{pmatrix}0,8&0&0\\[2pt]0&8,8&0\\[2pt]0&0&0,8\end{pmatrix}.
O resto R=A-D é
R=\begin{pmatrix}0&-0,4&0\\[2pt]-0,4&0&-0,4\\[2pt]0&-0,4&0\end{pmatrix}.
A matriz de iteração T_J é
T_J=-D^{-1}R.
Vamos calcular linha a linha usando D^{-1} (cada entrada da linha i de R é multiplicada por 1/a_{ii} e muda de sinal).]

Passo 4

Cálculo numérico das entradas de T_J (explicando como fazer sem calculadora).
Para a_{11}=0,8 temos 1/a_{11}=1/0,8=1,25. Multiplicando os off‑diagonais da linha 1 por -1/a_{11}:
t_{12}=-\frac{1}{0,8}(-0,4)=\frac{0,4}{0,8}=0,5,\qquad t_{13}=0.
Para a_{22}=8,8 temos 1/a_{22}=1/8,8. Note que \dfrac{0,8}{8,8}=\dfrac{8}{88}=\dfrac{1}{11}. Então
t_{21}=-\frac{1}{8,8}(-0,4)=\frac{0,4}{8,8}=\frac{1}{11},\qquad t_{23}=\frac{0,4}{8,8}=\frac{1}{11}.
Para a_{33}=0,8 (mesmo que a_{11}) obtemos
t_{32}=-\frac{1}{0,8}(-0,4)=0,5,\qquad t_{31}=0.
Assim, a matriz de iteração é
T_J=\begin{pmatrix} 0 & 0,5 & 0\\[2pt] \tfrac{1}{11} & 0 & \tfrac{1}{11}\\[2pt] 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação da condição de diagonal dominante (explicando a definição e calculando cada linha).
Definição: uma matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Aplicando às linhas de A:
  • Linha 1: |a_{11}|=0,8. Soma dos off‑diagonais: |a_{12}|+|a_{13}|=0,4+0=0,4. Como 0,8>0,4, a primeira linha é estritamente dominante.
  • Linha 2: |a_{22}|=8,8. Soma dos off‑diagonais: |a_{21}|+|a_{23}|=0,4+0,4=0,8. Como 8,8>0,8, a segunda linha é estritamente dominante.
  • Linha 3: |a_{33}|=0,8. Soma dos off‑diagonais: |a_{31}|+|a_{32}|=0+0,4=0,4. Como 0,8>0,4, a terceira linha é estritamente dominante.
Portanto A é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Isso já garante que o método de Jacobi converge para qualquer chute inicial.

Passo 6

Verificação via norma infinita de T_J (explicando por que isso também garante convergência e dando a taxa estimada).
A norma \|\cdot\|_\infty de uma matriz é o máximo das somas das magnitudes em cada linha. Calculamos as somas das linhas de T_J:
  • Linha 1: 0+0,5+0=0,5.
  • Linha 2: \tfrac{1}{11}+0+\tfrac{1}{11}=\tfrac{2}{11}\approx0,1818.
  • Linha 3: 0+0,5+0=0,5.
Logo
\|T_J\|_\infty=\max\{0,5,\tfrac{2}{11},0,5\}=0,5<1.
Como \rho(T_J)\le\|T_J\|_\infty=0,5<1, a convergência do método de Jacobi está garantida. Além disso, isto nos dá uma ideia da velocidade: na norma infinito o erro é reduzido, a cada iteração, por um fator no máximo 0,5 (aproximação grosseira do fator de contração).

Resposta

Sim. É possível usar o método de Jacobi: a matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (cada |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|), o que garante \rho(T_J)<1; de fato \|T_J\|_\infty=0,5<1, logo o método converge para qualquer chute inicial.

Exercícios relacionados