Sobre o número de soluções de um sistema de equações lineares
, onde
, é falso afirmar que:
(A) Se a vetor
é constituído de zeros, então o sistema possui infinitas soluções se e somente se
é uma matriz singular.
(B) O sistema admite uma única solução se e somente se o determinante de A é diferente de zero.
© Se o sistema admite duas soluções distintas, então ele admite infinitas soluções.
(D) Se
é uma matriz singular, então o sistema admite infinitas soluções.
(A) Se a vetor
(B) O sistema admite uma única solução se e somente se o determinante de A é diferente de zero.
© Se o sistema admite duas soluções distintas, então ele admite infinitas soluções.
(D) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre sistemas de equações lineares da forma $ Ax = b $, onde $ A $ é uma matriz quadrada $ N \times N $. A pergunta é para identificar qual das afirmações A, B, C ou D é falsa. Para resolver isso, a gente vai precisar entender conceitos como matrizes singulares, determinantes, e o número de soluções que um sistema pode ter.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz singular. Uma matriz $ A $ é singular se o seu determinante é zero, ou seja, $ \det(A) = 0 $. Se $ \det(A) \neq 0 $, a matriz é não singular ou inversível.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada afirmação:
(A) Se o vetor $ b $ é constituído de zeros, então o sistema possui infinitas soluções se e somente se $ A $ é uma matriz singular.
- Quando $ b $ é o vetor zero, estamos falando de um sistema homogêneo. Um sistema homogêneo tem sempre pelo menos a solução trivial $ x = 0 $. Se $ A $ é singular ($ \det(A) = 0 $), então existem infinitas soluções. Se $ A $ não é singular, a única solução é a trivial. Então, a afirmação está correta.
(B) O sistema admite uma única solução se e somente se o determinante de $ A $ é diferente de zero.
- Se $ \det(A) \neq 0 $, então $ A $ é invertível e o sistema $ Ax = b $ tem uma única solução $ x = A^{-1}b $. Se $ \det(A) = 0 $, o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, mas nunca uma única. Portanto, essa afirmação está correta.
© Se o sistema admite duas soluções distintas, então ele admite infinitas soluções.
- Se já temos duas soluções distintas, significa que há pelo menos um grau de liberdade no sistema, o que leva a infinitas soluções. Isso ocorre porque a diferença entre duas soluções é uma solução do sistema homogêneo associado. Então, essa afirmação está correta.
(D) Se $ A $ é uma matriz singular, então o sistema admite infinitas soluções.
- Aqui, se $ A $ é singular ($ \det(A) = 0 $) e $ b $ não é o vetor zero, o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo de $ b $. Ou seja, não é garantido que sempre haverá infinitas soluções. Portanto, essa afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação (D) é falsa.