A última coluna, c, da matriz U oriunda da decomposição A=LU com
A=(lll 3 & 0 & 1 2 & 4 & 2 1 & 2 & 3 )
é
(A) c^T=[4,0000 -2,0000 -5,0000]
(B) c^T=[4,0000 -0,6667 -3,5000]
© c^T=[1,0000 1,3333 3,000]
(D) c^T=[1,0000 1,3333 2,0000]

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre decomposição LU. A gente tem uma matriz $ A $ e queremos encontrar a última coluna $ c $ da matriz $ U $ na decomposição $ A = LU $. Para isso, vamos precisar entender como fazer a decomposição LU, que basicamente quebra a matriz $ A $ em duas matrizes: $ L $ (uma matriz triangular inferior) e $ U $ (uma matriz triangular superior).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na decomposição LU, a matriz $ L $ tem 1s na diagonal principal e zeros acima dela, enquanto a matriz $ U $ tem zeros abaixo da diagonal principal. Vamos escrever as matrizes $ L $ e $ U $ da seguinte forma:
L

Passo 3

Agora, vamos multiplicar $ L $ por $ U $ e igualar a matriz resultante a $ A $:
L
Igualando elemento a elemento com U , temos:
  1. Da primeira linha:
    • $ u_{11} = 3 $
    • $ u_{12} = 0 $
    • $ u_{13} = 1 $
  2. Da segunda linha:
    • $ l_{21} \cdot u_{11} = 2 $ ⇒ $ l_{21} = \frac{2}{3} $
    • $ l_{21} \cdot u_{12} + u_{22} = 4 $ ⇒ $ 0 + u_{22} = 4 $ ⇒ $ u_{22} = 4 $
    • $ l_{21} \cdot u_{13} + u_{23} = 2 $ ⇒ $ \frac{2}{3} \cdot 1 + u_{23} = 2 $ ⇒ $ u_{23} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $
  3. Da terceira linha:
    • $ l_{31} \cdot u_{11} = 1 $ ⇒ $ l_{31} = \frac{1}{3} $
    • $ l_{31} \cdot u_{12} + l_{32} \cdot u_{22} = 2 $ ⇒ $ 0 + l_{32} \cdot 4 = 2 $ ⇒ $ l_{32} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
    • $ l_{31} \cdot u_{13} + l_{32} \cdot u_{23} + u_{33} = 3 $ ⇒ $ \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} + u_{33} = 3 $ ⇒ $ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + u_{33} = 3 $ ⇒ $ 1 + u_{33} = 3 $ ⇒ $ u_{33} = 2 $

Passo 4

Agora que já calculamos todos os elementos de $ U $, vamos montar a matriz $ U $:
U
A última coluna de $ U $ é $ U $, que em forma transposta fica $ c^{T} = [1, 1.3333, 2.0000] $.

Resposta

$ c^{T} = [1.0000, 1.3333, 2.0000] $

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