ou seja A x=b\] com
\[b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix},\]
usando a fatoração \(A=LU: primeiro resolver L y=b (substituição direta / forward substitution) e depois U x=y (substituição regressiva / back substitution).]
Passo 2
O que significa verificar A=LU? Significa calcular o produto matricial LU e comparar cada entrada com a correspondente em A.
Regra de multiplicação de matrizes (linha × coluna): a entrada (i,j) do produto LU é
(LU)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} L_{ik}\,U_{kj}.
Aqui L_{ik} é o elemento da linha i, coluna k de L e U_{kj} é o elemento da linha k, coluna j de U. Vou aplicar essa fórmula para cada entrada para não pular etapa.
Comparando com a matriz dada A, vemos que todas as entradas coincidem. Portanto, as matrizes L e U fornecidas são, de fato, uma fatoração A=LU.
Breve nota didática: fatoração LU quer apenas duas coisas: L triangular inferior (aqui com 1s na diagonal) e U triangular superior, e que o produto dê A. Conferimos isso via multiplicação linha×coluna.]
Passo 5
Agora usamos A=LU para resolver Ax=b em duas etapas:
Resolver L y=b por substituição direta (forward substitution). Para matrizes triangulares inferiores, solve-se y_1 primeiro, depois y_2, etc.
Resolver U x=y por substituição regressiva (back substitution). Para matrizes triangulares superiores, começa-se do último componente x_3 e vai subindo.
Vou escrever y=(y_1,y_2,y_3)^T e x=(x_1,x_2,x_3)^T.
Passo 6
Resolver [L y=b). Escrevendo o sistema L y=b explicitamente com L=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]2&1&0\\[4pt]1&4&1\end{pmatrix} e b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix}:
Rápida checagem (opcional, mas boa prática): calcular Ax usando A e x=(1,1,1)^T:
A x = \begin{pmatrix}1&2&-1\\[4pt]2&3&-2\\[4pt]1&-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+2-1\\[4pt]2+3-2\\[4pt]1-2+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix}=b,
confirmando que a solução está correta.]
Resposta
a) Sim. L U = A.
b) \displaystyle x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}]