a) Verifique se L=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 4 & 1\end{array}\right) e U=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) são matrizes resultantes da fatoração LU da matriz \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 3 & -2 \\\\ 1 & -2 & 1\end{array}\right); (0,5)
b) Resolva o sistema linear a seguir usando a Decomposição L U (Fatoração); (\mathbf{1 , 2})
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=2 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}=3 \\\ x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=0 \end{array}\right.
A x=b \rightarrow L U x=b, U x=y \rightarrow L y=b

Passo 1

O enunciado tem duas partes claras:
a) Verificar se as matrizes
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 4 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2\end{pmatrix}
são fatores tais que \,A=LU\) para a matriz \[A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\[4pt] 2 & 3 & -2 \\[4pt] 1 & -2 & 1\end{pmatrix}.
b) Resolver o sistema linear dado por
\begin{cases} x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=2,\\[4pt] 2 x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}=3,\\[4pt] x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=0, \end{cases}
ou seja A x=b\] com \[b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix},\] usando a fatoração \(A=LU: primeiro resolver L y=b (substituição direta / forward substitution) e depois U x=y (substituição regressiva / back substitution).]

Passo 2

O que significa verificar A=LU? Significa calcular o produto matricial LU e comparar cada entrada com a correspondente em A.
Regra de multiplicação de matrizes (linha × coluna): a entrada (i,j) do produto LU é
(LU)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} L_{ik}\,U_{kj}.
Aqui L_{ik} é o elemento da linha i, coluna k de L e U_{kj} é o elemento da linha k, coluna j de U. Vou aplicar essa fórmula para cada entrada para não pular etapa.

Passo 3

Calculemos LU entrada a entrada.
Colunas de U (para facilitar a visão):
\text{col}_1(U)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2(U)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \text{col}_3(U)=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Linha 1 de L é (1,0,0). Multiplicando por cada coluna de U:
(LU)_{11}=1\cdot1+0\cdot0+0\cdot0=1,
(LU)_{12}=1\cdot2+0\cdot(-1)+0\cdot0=2,
(LU)_{13}=1\cdot(-1)+0\cdot0+0\cdot2=-1.
Linha 2 de L é (2,1,0). Multiplicando:
(LU)_{21}=2\cdot1+1\cdot0+0\cdot0=2,
(LU)_{22}=2\cdot2+1\cdot(-1)+0\cdot0=4-1=3,
(LU)_{23}=2\cdot(-1)+1\cdot0+0\cdot2=-2.
Linha 3 de L é (1,4,1). Multiplicando:
(LU)_{31}=1\cdot1+4\cdot0+1\cdot0=1,
(LU)_{32}=1\cdot2+4\cdot(-1)+1\cdot0=2-4=-2,
(LU)_{33}=1\cdot(-1)+4\cdot0+1\cdot2=-1+2=1.]

Passo 4

Agora juntamos as entradas calculadas para formar LU:
LU=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & 3 & -2\\[4pt] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Comparando com a matriz dada A, vemos que todas as entradas coincidem. Portanto, as matrizes L e U fornecidas são, de fato, uma fatoração A=LU.
Breve nota didática: fatoração LU quer apenas duas coisas: L triangular inferior (aqui com 1s na diagonal) e U triangular superior, e que o produto dê A. Conferimos isso via multiplicação linha×coluna.]

Passo 5

Agora usamos A=LU para resolver Ax=b em duas etapas:
  1. Resolver L y=b por substituição direta (forward substitution). Para matrizes triangulares inferiores, solve-se y_1 primeiro, depois y_2, etc.
  2. Resolver U x=y por substituição regressiva (back substitution). Para matrizes triangulares superiores, começa-se do último componente x_3 e vai subindo.
Vou escrever y=(y_1,y_2,y_3)^T e x=(x_1,x_2,x_3)^T.

Passo 6

Resolver [L y=b). Escrevendo o sistema L y=b explicitamente com L=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]2&1&0\\[4pt]1&4&1\end{pmatrix} e b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix}:
Equações obtidas:
\begin{cases} 1\cdot y_1 = 2,\\[4pt] 2\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = 3,\\[4pt] 1\cdot y_1 + 4\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = 0. \end{cases}
Resolvo passo a passo (fórmula geral para forward substitution em dimensão 3: y_1=b_1\], \(y_2=b_2-L_{21}y_1, y_3=b_3-L_{31}y_1-L_{32}y_2).
Cálculos:
y_1=2.
y_2=3-2\cdot y_1 = 3-2\cdot2=3-4=-1.
y_3=0-1\cdot y_1 - 4\cdot y_2 = 0-1\cdot2 - 4\cdot(-1)= -2 +4 =2.
Logo
y=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver U x=y com U=\begin{pmatrix}1&2&-1\\[4pt]0&-1&0\\[4pt]0&0&2\end{pmatrix} e y=(2,-1,2)^T.
Escrevendo as equações:
\begin{cases} 1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 - 1\cdot x_3 = 2,\\[4pt] -1\cdot x_2 = -1,\\[4pt] 2\cdot x_3 = 2. \end{cases}
Para back substitution, começo da última equação:
x_3=\frac{2}{2}=1.
Da segunda equação:
x_2 = \frac{-1}{-1}=1.
Agora a primeira:
x_1 + 2\cdot x_2 - x_3 = 2
x_1 + 2\cdot 1 - 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad x_1 +1 =2 \quad\Rightarrow\quad x_1=1.
Portanto
x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Rápida checagem (opcional, mas boa prática): calcular Ax usando A e x=(1,1,1)^T:
A x = \begin{pmatrix}1&2&-1\\[4pt]2&3&-2\\[4pt]1&-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+2-1\\[4pt]2+3-2\\[4pt]1-2+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix}=b,
confirmando que a solução está correta.]

Resposta

a) Sim. L U = A.
b) \displaystyle x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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