Para as três questões seguintes, considere os pontos de uma função f(x) :
x 1 2 3 5 7 9
f(x) 0,3 1,7 2,4 4,1 7,4 8,2
.
Use 4 casas decimais.
  • Qual o valor do operador de diferença dividida \Delta^{2} y_{0} usado por um polinômio quadrático P_{2}(x) para interpolar z=3,3 com menor erro de interpolação (truncamento)? \square 0,05
Dica para verificação: o resultado está entre -1 e 1 .
  • Qual o valor de P_{2}(3,3) usando os pontos da questão anterior? \square 2,89 gabarito =2.6295
    Dica para verificação: o resultado está entre 2 e 3 .
  • Qual o valor do operador de diferença finita ascendente de ordem 2 calculado a partir dos três últimos pontos?
    \square -2,5
Dica para verificação: o resultado está entre -5 e 2 .

Passo 1

O enunciado pede três coisas usando os pontos abaixo:
(1,\,0,3),\;(2,\,1,7),\;(3,\,2,4),\;(5,\,4,1),\;(7,\,7,4),\;(9,\,8,2).
As perguntas são:
  1. O valor do operador de diferença dividida \Delta^{2} y_{0} usado por um polinômio quadrático P_{2}(x) para interpolar em z=3,3 com menor erro de truncamento.
  2. O valor de P_{2}(3,3) usando os pontos escolhidos na pergunta anterior.
  3. O valor da diferença finita ascendente de ordem 2 calculada a partir dos três últimos pontos da tabela.

Passo 2

Escolha dos pontos para o polinômio quadrático com menor erro de interpolação em z=3,3: para minimizar o erro de truncamento escolhemos os três nós mais próximos de 3,3. As distâncias relativas mostram que os nós mais apropriados são
x_0=2,\;x_1=3,\;x_2=5
com
y_0=f(2)=1,7,\quad y_1=f(3)=2,4,\quad y_2=f(5)=4,1.
Não resolvemos ainda; só fixamos os pontos que o P_2 usará.

Passo 3

Definição e cálculo da segunda diferença dividida (explicação didática):
A diferença dividida de primeira ordem entre dois nós x_i e x_j é
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i},
ou seja, é a inclinação média entre os pontos. A diferença dividida de segunda ordem em três nós x_0,x_1,x_2 é
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Aqui f[x_0,x_1,x_2] é o coeficiente do termo quadrático no polinômio de Newton de grau 2; esse coeficiente é o que o enunciado chama de \Delta^{2} y_{0}.
Cálculo passo a passo usando os valores escolhidos:
f[x_0,x_1]=\frac{2,4-1,7}{3-2}=\frac{0,7}{1}=0,7,
f[x_1,x_2]=\frac{4,1-2,4}{5-3}=\frac{1,7}{2}=0,85,
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{0,85-0,7}{5-2}=\frac{0,15}{3}=0,05.
Usando quatro casas decimais, obtemos
\Delta^{2} y_{0}=f[x_0,x_1,x_2]=0,0500.

Passo 4

Construção do polinômio de Newton (explicação didática) e avaliação em x=3,3:
A forma de Newton para o polinômio quadrático é
P_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1),
onde f[x_0]=y_0, f[x_0,x_1] e f[x_0,x_1,x_2] já foram calculados. Substituindo os valores:
P_2(x)=1,7+0,7(x-2)+0,05(x-2)(x-3).
Agora avaliamos em x=3,3. Primeiro calculemos os incrementos:
x- x_0=3,3-2=1,3,\qquad x-x_1=3,3-3=0,3.
Termos:
0,7\cdot 1,3=0,9100,
0,05\cdot 1,3\cdot 0,3=0,05\cdot 0,39=0,0195.
Somando tudo:
P_2(3,3)=1,7+0,9100+0,0195=2,6295.
Usando quatro casas decimais, P_2(3,3)=2,6295.

Passo 5

Diferença finita ascendente de ordem 2 a partir dos três últimos pontos (explicação didática):
Para uma sequência de valores y_i em nós igualmente espaçados (aqui x=5,7,9 com passo h=2), a diferença finita ascendente (forward) é definida por
\Delta y_i = y_{i+1}-y_i,
\Delta^2 y_i = \Delta y_{i+1}-\Delta y_i.
Tomando os três últimos pontos:
y_0=f(5)=4,1,\quad y_1=f(7)=7,4,\quad y_2=f(9)=8,2.
Calculamos:
\Delta y_0 = 7,4-4,1=3,3,
\Delta y_1 = 8,2-7,4=0,8,
\Delta^2 y_0 = 0,8-3,3=-2,5.
Com quatro casas decimais, \Delta^2 y_0 = -2,5000.

Resposta

0,0500\n
2,6295\n
-2,5000

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