Para as três questões seguintes, considere os pontos de uma função
:
1
2
3
5
7
9
0,3
1,7
2,4
4,1
7,4
8,2
.
Use 4 casas decimais.
- Qual o valor do operador de diferença dividida
usado por um polinômio quadrático
para interpolar
com menor erro de interpolação (truncamento)?
0,05
Dica para verificação: o resultado está entre -1 e 1 .
- Qual o valor de
usando os pontos da questão anterior?
2,89 gabarito
Dica para verificação: o resultado está entre 2 e 3 .
- Qual o valor do operador de diferença finita ascendente de ordem 2 calculado a partir dos três últimos pontos?
Dica para verificação: o resultado está entre -5 e 2 .
|
|
1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 |
|
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0,3 | 1,7 | 2,4 | 4,1 | 7,4 | 8,2 |
Dica para verificação: o resultado está entre 2 e 3 .
Passo 1
O enunciado pede três coisas usando os pontos abaixo:
As perguntas são:
- O valor do operador de diferença dividida
usado por um polinômio quadrático para interpolar em com menor erro de truncamento. - O valor de
usando os pontos escolhidos na pergunta anterior. - O valor da diferença finita ascendente de ordem 2 calculada a partir dos três últimos pontos da tabela.
Passo 2
Escolha dos pontos para o polinômio quadrático com menor erro de interpolação em
: para minimizar o erro de truncamento escolhemos os três nós mais próximos de
. As distâncias relativas mostram que os nós mais apropriados são
com
Não resolvemos ainda; só fixamos os pontos que o
usará.
Passo 3
Definição e cálculo da segunda diferença dividida (explicação didática):
A diferença dividida de primeira ordem entre dois nós e
é
A diferença dividida de primeira ordem entre dois nós
ou seja, é a inclinação média entre os pontos. A diferença dividida de segunda ordem em três nós
é
Aqui
é o coeficiente do termo quadrático no polinômio de Newton de grau 2; esse coeficiente é o que o enunciado chama de
.
Cálculo passo a passo usando os valores escolhidos:
Usando quatro casas decimais, obtemos
Passo 4
Construção do polinômio de Newton (explicação didática) e avaliação em
:
A forma de Newton para o polinômio quadrático é
A forma de Newton para o polinômio quadrático é
onde
,
e
já foram calculados. Substituindo os valores:
Agora avaliamos em
. Primeiro calculemos os incrementos:
Termos:
Somando tudo:
Usando quatro casas decimais,
.
Passo 5
Diferença finita ascendente de ordem 2 a partir dos três últimos pontos (explicação didática):
Para uma sequência de valores em nós igualmente espaçados (aqui
com passo
), a diferença finita ascendente (forward) é definida por
Para uma sequência de valores
Tomando os três últimos pontos:
Calculamos:
Com quatro casas decimais,
.