Sobre a robustez e convergência dos métodos numéricos para resolver uma equação f(x)=0, é falso afirmar que:
Uma aproximação da solução calculada pelo método da secante a partir das duas aproximações anteriores, xk-1 e xk, pode estar fora do intervalo [xk-1; xk].

Passo 1

Então o exercício diz o seguinte: “Sobre robustez e convergência de métodos numéricos para achar raiz de f(x)=0, é falso afirmar que: ‘Uma aproximação pelo método da secante, a partir de xk-1 e xk, pode ficar fora do intervalo [xk-1,xk].’”
Conteúdo: método da secante e propriedades de métodos que não são de “bracketing”.
O que precisamos: entender como a secante gera xk+1 e se existe ou não garantia de manter xk+1in[xk-1,xk]

Passo 2

Relembrando o método da secante: dadas duas estimativas xk-1 e xk, o próximo valor é
xk+1 ;=; xk ;-; f(xk),xk - xk-1f(xk) - f(xk-1),
Isso é um método “aberto” (sem garantia de bracketing), diferente da bisseção que sempre mantém a raiz dentro do intervalo. A secante só faz uma reta pelos pontos l(xk-1,f(xk-1)r) e l(xk,f(xk)r) e corta o eixo x. Nada nela impede que esse corte fique fora de [xk-1,xk].

Passo 3

Para deixar isso mais claro, veja um exemplo rápido. Seja f(x)=x^2-2 (que tem raiz em raiz2approx1,414). Suponha
x0=1, x1=2,
Então
f(1)=-1, f(2)=2
e
x2 = 2 ;-; 2;2-12-(-1) ;=; 2 - 2cdot13 ;=; tfrac43approx1,333,
Repare que 1,333 está dentro de [1,2], mas em outros casos – por exemplo se eu tivesse escolhido x0=1 e x1=3 – daria:
f(1)=-1,; f(3)=7 Longrightarrow x2 = 3 - 7,3-17-(-1) = 3 - 7cdot28 = 3 - tfrac74 = 1,25,
e aí 1,25 fica fora de [1,3]? Na verdade não no exemplo puro, mas em funções menos “bem comportadas” a secante pula mesmo pra fora. O ponto é: não há nenhuma garantia teórica de manter xk+1in[xk-1,xk].

Resposta

A afirmação é falsa, pois o método da secante não garante que xk+1 permaneça dentro do intervalo [xk-1,xk],

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