Interpolação polinomial: suponhamos que f: R R é uma função cuatro vezes diferenciável tal que f(-1)=2, f(0)=1, f(1)=0 e f(2)= 3.
Use interpolação quadrática para aproximar a função f no intervalo [-1,2], existem varias formas de fazer essa aproximação.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para “aproximar” a função f(-1)=2, f(0)=1, f(1)=0, f(2)=3 num polinômio de grau 2 (interpola-ção quadrática) no intervalo , sabendo que
A matéria envolvida é “polinômio de interpolação” – mais precisamente o método de Lagrange. Para resolver, vamos escolher três pontos dentre os quatro dados, montar o polinômio de Lagrange de grau 2 e simplificar.

Passo 2

Por que três pontos?
  • Um polinômio de grau 2 é totalmente determinado por três condições.
  • Se pegamos, por exemplo, os pontos x0=-1,; f(x0)=2, x1=1,; f(x1)=0, x2=2,; f(x2)=3, então construímos o polinômio de Lagrange de grau 2 que passa exatamente por essas três coordenadas.

Passo 3

Definimos as “base” de Lagrange L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2), L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2), L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1) assim:
L0(x)&=(x-1)(x-2)(-1-1)(-1-2)=(x-1)(x-2)(-2)(-3)=(x-1)(x-2)6, L1(x)&=(x+1)(x-2)(1+1)(1-2)=(x+1)(x-2)2cdot(-1)=-(x+1)(x-2)2, L2(x)&=(x+1)(x-1)(2+1)(2-1)=(x+1)(x-1)3cdot1=(x+1)(x-1)3
Na nossa escolha:

Passo 4

O polinômio de interpolação é
p(x)=f(x0),L0(x)+f(x1),L1(x)+f(x2),L2(x) =2cdot L0(x)+0cdot L1(x)+3cdot L2(x)
Substituindo e simplificando:
p(x)&=2cdot(x-1)(x-2)6+3cdot(x+1)(x-1)3 &=(x-1)(x-2)3+(x+1)(x-1) &=(x-1)l(x-23 + (x+1)r) &=(x-1)x-2 + 3x+33 &=(x-1)4x+13 &=4x^2 -3x -13

Resposta

A aproximação quadrática de boxedp(x)=4x^2 -3x -13 (usando os pontos ) é

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