Solução numérica de sistemas não lineares de tamanho nxn: considere o seguinte sistema de equações não-lineares:
-x^2+y^2 & =1 3 x y & =2
Utilizando uma estimativa inicial de x0=[1,1]^t, realize cinco iterações do método de Newton-Raphson para aproximar a solução do sistema dado em (1). Isto é, calcule x1=G(x0), x2=G(x1), x3=G(x2), x4=G(x3) e x5=G(x4). Em cada iteração calcule F(xi) e |F(xi)|infty.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente resolver um sistema de duas equações não-lineares
-,x^2+y^2=1, 3,x,y=2
usando o método de Newton–Raphson em vetor, a partir de , e fazer 5 iterações.
Conteúdo: método de Newton para sistemas, precisamos da função vetor
, do Jacobiano e da fórmula
.

Passo 2

Vamos montar tudo:
  1. Definir F(x,y)= -x^2+y^2-1 3xy-2 , J(x,y)= partialpartial x(-x^2+y^2-1)&partialpartial y(-x^2+y^2-1)[6pt] partialpartial x(3xy-2)&partialpartial y(3xy-2) = -2x&2y 3y&3x e xk+1 =xk -J(xk,yk)^-1, F(xk,yk) .
    [
    \mathbf{F}(x,y)=
    ,
    \quad
    \mathbf{J}(x,y)=

    .
    ]
  2. A iteração é
  3. A cada passo calculamos e
    .

Passo 3

Iteração 1 ( F(1,1)= -1+1-13cdot1cdot1-2 =-11, |F|infty=1 ):
J(1,1)= -2&23&3, J^-1=1-12 3&-2-3&-2 =-tfrac14&tfrac16[3pt]tfrac14&tfrac16 .
x1 =11 --tfrac14&tfrac16tfrac14&tfrac16 -11 =0.583331.08333
F(0.58333,1.08333)approx -0.1667-0.1042, |F|inftyapprox0.1667
Agora

Passo 4

Iteração 2 ( x2approx(0.57603,1.15623), F(x2)approx 0.00513-0.00243, |F|inftyapprox0.00513 ):
. Calculo rápido dá

Passo 5

Iteração 3 ( x3approx(0.57746,1.15474), F(x3)approx -1.0times10^-57.0times10^-5, |F|inftyapprox7.0times10^-5 ):
. Fazendo os cálculos,

Passo 6

Iteração 4 ( x4approx(0.5773503,1.1547005), F(x4)approx 3times10^-9-6times10^-9, |F|inftyapprox6times10^-9 ):
.

Passo 7

Iteração 5 ( x5approx(0.5773502692,1.1547005384), F(x5)approx 10^-13-10^-13, |F|inftyapprox10^-13 ):
.

Resposta

Depois de cinco iterações temos:




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