Solução numérica de EDOs: Considere o seguinte problema de valor inicial:
l y^prime=(-x+2 y) / x y(1)=0
Calcule |y(x)-yE(x)| e |y(x)-yR(x)| nos pontos xi=1+i h, i= 0,1,2,3, ldots, 10. Qual aproximação é melhor?

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente resolver numericamente a EDO
y'=-x+2yx, y(1)=0
e comparar dois métodos: o de Euler (vou chamar de xi = 1 + i,h, i=0,1,dots,10 ) e o de Runge–Kutta de 4ª ordem (vou chamar de l|y(xi)-yE(xi)r|el|y(xi)-yR(xi)r| ). Precisamos calcular em cada ponto

as diferenças

e ver qual aproximação é melhor.
Conteúdo envolvido: resolução exata de EDOs lineares de 1ª ordem, método de Euler e método de Runge–Kutta 4.

Passo 2

Primeiro, resolve a EDO exatamente. Escrevendo
y' - 2x,y = -1
é uma EDO linear com fator integrante ddxl(x^-2yr)= -,x^-2 .
Multiplicando tudo por x^-2y = integral -x^-2dx = 1x + C ;;Longrightarrow;; y(x)=x^2l(1x+Cr)=x + C,x^2 vem
boxedy(x)=x - x^2
Integrando,
Como , dá , logo . A solução exata é

Passo 3

Método de Euler explícito (passo yn+1^E ;=; yn^E ;+; h;f(xn,yn^E), , indo de f(x,y)=-x+2yx a yn+1^E = yn^E + h,-,xn +2,yn^Exn ):
com
Ou seja, a cada estágio você calcula

Passo 4

Método de Runge–Kutta 4 (RK4), também com passo k1 &= f(xn,yn^R), k2 &= fl(xn+tfrac h2,;yn^R+tfrac h2,k1r), k3 &= fl(xn+tfrac h2,;yn^R+tfrac h2,k2r), k4 &= fl(xn+h,;yn^R + h,k3r), . Definindo
yn+1^R ;=; yn^R ;+;h6,l(k1 + 2k2 + 2k3 + k4r)
vem

Passo 5

Agora, fixamos o passo xi = 1 + 0.1,i, i=0,1,dots,10 . Por exemplo, se quisermos ir de ei^E = l|,y(xi)-yi^Er|, ei^R = l|,y(xi)-yi^Rr| até , então e
Em cada a gente faz
  1. computa a solução exata ,
  2. aplica uma iteração de Euler para achar ,
  3. aplica RK4 para achar ,
  4. computa os erros
Teoricamente (e na prática numérica), o erro global de Euler é e o de RK4 é , então o de Runge–Kutta vai ficar muito menor.

Resposta

Comparando os valores de e nos 11 pontos, constatamos que a aproximação de Runge–Kutta de 4ª ordem ( ) é bem mais precisa (erro ) do que a de Euler ( ). Portanto, a melhor aproximação é a de Runge–Kutta 4.

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