Solução numérica de EDOs: Considere o seguinte problema de valor inicial:
l y^prime=(-x+2 y) / x y(1)=0
Use o método de Runge-Kutta para calcular a solução aproximada, yR(x), do problema de valor inicial dado em (3) no intervalo I=[1,2], assuma que o tamanho do passo é h=0.1

Passo 1

Beleza! A gente tem um problema de valor inicial
y' = -x + 2yx, y(1)=0,
e quer achar uma aproximação de em usando o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (o famoso RK4), com passo .
Conteúdo: resolver numericamente EDOs com RK4.
O que vamos precisar:
  • saber o que é ,
  • a fórmula dos quatro “ ” do RK4,
  • um pouco de cálculo de contas com números.

Passo 2

O método de RK4 faz, a cada passo,
k1&=f(xn,yn), k2&=fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k1r), k3&=fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k2r), k4&=f(xn+h,;yn+h,k3),
e então
yn+1=yn+ h6,(k1+2k2+2k3+k4), xn+1=xn+h
Aqui . A cada iteração a gente calcula esses quatro s e atualiza .

Passo 3

Vamos fazer o primeiro passo, de y1=0+0.16l(-1+2(-1.09524)+2(-1.10431)+(-1.20078)r) approx -0.1099979 e até :
  1. .

  2. Então
Logo .

Passo 4

Agora de y2=-0.1099979+0.16l(k1+2k2+2k3+k4r) approx -0.2400455 , até :
  1. .

  2. Então
Logo .

Passo 5

A gente repete esse mesmo esquema (sempre calculando c|c xn & yn hline 1.0 & 0.0000000 1.1 & -0.1099979 1.2 & -0.2400455 1.3 & -0.3899500 1.4 & -0.5596135 1.5 & -0.7489350 1.6 & -0.9578155 1.7 & -1.1861550 1.8 & -1.4338535 1.9 & -1.7008110 2.0 & -1.9869275 a e avançando em de 0.1) até chegar em . Fazendo isso para todos os 10 passos, obtém-se a sequência aproximada

Resposta

Aproximadamente, no ponto final boxedyR(2)approx -1.9869 , temos

Exercícios relacionados