a) empregando o Método de Eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com quatro algarismos após a vírgula; (\mathbf{1 , 0})
b) utilizando o Método de Gauss-Seidel, aritmética de ponto flutuante com com quatro algarismos após a vírgula, x^{(0)}=(0,0,0), precisão absoluta \in<10^{-4} na convergência e número máximo de cinco iterações. Antes de iniciar o processo, garanta a convergência do Método de Gauss-Seidel.; (\mathbf{1 , 5})
k
x_{1}^{k}
x_{2}^{k}
x_{3}^{k}
(\epsilon^{k}=\max \left{\left
x_{1}{k}-x_{1}{k-1}\right
,\left
x_{2}{k}-x_{2}{k-1}\right
,\left
x_{3}{k}-x_{3}{k-1}\right
\right})
0
0
0
0
1
2
3
4
5
c) o método Gauss-Jacobi atenderia o critério de convergência? ( \mathbf{0 , 5} )
d) a partir da resposta (a), obtenha as matrizes L e U da fatoração LU da matriz dos coeficientes do sistema; (\mathbf{0 , 5})
Passo 1
O problema dá o sistema linear com matriz de coeficientes e vetor lado direito:
e pede:
a) Resolver usando o Método de Eliminação de Gauss com aritmética de ponto flutuante arredondada a quatro casas decimais;
b) Aplicar Gauss–Seidel (aritmética com 4 casas), com x^{(0)}=(0,0,0), precisão absoluta requerida <10^{-4} e máximo de 5 iterações. Antes, garanta convergência do método; preencher a tabela com os x_i^{(k)} e \epsilon^{k}=\max\{|x_i^{k}-x_i^{k-1}|\}.
c) Dizer se o método de Gauss–Jacobi atenderia o critério de convergência (justificar).
d) A partir da eliminação em (a), obter as matrizes L e U da fatoração A=LU.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes na forma fracionária (usei aproximações decimais com quatro casas onde necessário), regra de arredondamento: toda operação aritmética é arredondada a quatro casas decimais.]
Passo 2
Método de Eliminação de Gauss — explicação curta (o que vou fazer): escolhemos o pivô da primeira linha (a_{11}), zeramos a primeira coluna abaixo do pivô usando multiplicadores m_{i1}=a_{i1}/a_{11}, atualizamos linhas e arredondamos cada resultado a quatro casas decimais. Depois usamos o pivô da segunda linha para zerar abaixo, e assim por diante. Sempre que eu multiplicar ou subtrair, vou arredondar o resultado final da operação a quatro casas decimais (aritmética de ponto flutuante com 4 casas).
Escrevo a matriz aumentada inicial com aproximações decimais (arredondei os elementos fracionais a 4 casas):
Resultado (Gauss com 4 casas em cada operação): \;x_1\approx 15{,}0004,\;x_2\approx 11{,}9989,\;x_3\approx -11{,}9979.
Passo 4
Preparação para Gauss–Seidel: garantir convergência.
Critério suficiente simples e prático: se a matriz for estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou simétrica definida positiva), Gauss–Seidel converge. Verifico a dominância nas linhas da matriz original A (valores decimais):
Linha 1: |a_{11}|=1{,}0000 e soma dos outros módulos |2{,}2500|+|1{,}1667|=3{,}4167 — falha (1 < 3{,}4167).
Linha 2: |a_{22}|=1{,}6667 e soma |2|+|0{,}25|=2{,}2500 — falha se tomada nessa ordem (note que para linha 2 mesma linha a diagonal é a_{22}=\tfrac{5}{3}=1{,}6667 e soma dos outros é 2{,}25).
Linha 3: |a_{33}|=3{,}5 e soma |0{,}4|+|3|=3{,}4 — esta linha é estritamente dominante.
Como a matriz original não é estritamente diagonalmente dominante por linhas na ordenação dada, podemos tentar permutar as equações (reordenar as linhas) para obter dominância. Trocando as linhas 1 e 2 (isto é, usar a ordem de equações: linha original 2, depois 1, depois 3) obtemos a matriz com diagonais (2{,}0000,\;2{,}2500,\;3{,}5000) e os somatórios dos demais elementos em cada linha são menores que o elemento diagonal em cada linha — portanto, com essa permutação obtemos estrita dominância linha a linha. Conclusão: podemos reordenar as equações (trocar a 1ª com a 2ª) e, então, garantir a convergência do método de Gauss–Seidel na nova ordem. Vou aplicar Gauss–Seidel nas equações reordenadas (isso não altera a solução, apenas a ordem em que usamos as equações no método iterativo).
As equações após trocar linha 1 ↔ linha 2 (mantendo o vetor b trocado na mesma ordem) são:
Aplicação de Gauss–Seidel (aritmética com 4 casas, x^{(0)}=(0,0,0), máximo 5 iterações). Em cada passo arredondei os resultados intermédios e os valores de x_i^{(k)} para 4 casas. Calculei \epsilon^{k}=\max_i|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}|.
Comentário sobre convergência: a tolerância pedida era \epsilon<10^{-4}; após 5 iterações \epsilon^{5}=1{,}0990 (muito maior que 10^{-4}). Ou seja, com o número máximo de 5 iterações e os arredondamentos a 4 casas, o critério de precisão não é atingido. As entradas acima foram obtidas seguindo rigorosamente as fórmulas iterativas e arredondando a cada operação a 4 casas conforme solicitado.]
Passo 6
Resposta sobre Gauss–Jacobi (critério de convergência): o critério simples de verificação é a dominância diagonal por linhas na ordenação dada. A matriz original, na ordenação apresentada no enunciado, NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas (linha 1: |a_{11}|=1{,}0000 < 3{,}4167=\sum_{j\ne1}|a_{1j}|). Portanto, o Método de Gauss–Jacobi não atende ao critério suficiente de convergência pela dominância diagonal na ordenação dada. Conclusão: Gauss–Jacobi não satisfaz o critério de convergência (na ordenação original).
Passo 7
Fatoração LU (usar os multiplicadores calculados no processo de eliminação em (a); aritmética com 4 casas). Dos cálculos da eliminação obtivemos:
Então L (matriz lower com 1s na diagonal e os multiplicadores abaixo) e U (matriz superior obtida após eliminação) são, com entradas arredondadas a 4 casas:
(c) Não. O Método de Gauss–Jacobi não atende ao critério suficiente de convergência (a matriz original não é estritamente diagonalmente dominante por linhas).