1. Solucione o sistema de equações lineares
\left[\begin{array}{ccc} 1 & \frac{9}{4} & \frac{7}{6} \\\\ 2 & \frac{5}{3} & \frac{1}{4} \\\ \frac{2}{5} & 3 & \frac{7}{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 28 \\\\ 47 \\\\ 0 \end{array}\right]
a) empregando o Método de Eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com quatro algarismos após a vírgula; (\mathbf{1 , 0})
b) utilizando o Método de Gauss-Seidel, aritmética de ponto flutuante com com quatro algarismos após a vírgula, x^{(0)}=(0,0,0), precisão absoluta \in<10^{-4} na convergência e número máximo de cinco iterações. Antes de iniciar o processo, garanta a convergência do Método de Gauss-Seidel.; (\mathbf{1 , 5})
k x_{1}^{k} x_{2}^{k} x_{3}^{k} (\epsilon^{k}=\max \left{\left x_{1}{k}-x_{1}{k-1}\right ,\left x_{2}{k}-x_{2}{k-1}\right ,\left x_{3}{k}-x_{3}{k-1}\right \right})
0 0 0 0
1
2
3
4
5
c) o método Gauss-Jacobi atenderia o critério de convergência? ( \mathbf{0 , 5} )
d) a partir da resposta (a), obtenha as matrizes L e U da fatoração LU da matriz dos coeficientes do sistema; (\mathbf{0 , 5})

Passo 1

O problema dá o sistema linear com matriz de coeficientes e vetor lado direito:
A=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{9}{4} & \tfrac{7}{6}\\[4pt] 2 & \tfrac{5}{3} & \tfrac{1}{4}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & 3 & \tfrac{7}{2} \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}28\\[4pt]47\\[4pt]0\end{pmatrix}
e pede:
a) Resolver usando o Método de Eliminação de Gauss com aritmética de ponto flutuante arredondada a quatro casas decimais;
b) Aplicar Gauss–Seidel (aritmética com 4 casas), com x^{(0)}=(0,0,0), precisão absoluta requerida <10^{-4} e máximo de 5 iterações. Antes, garanta convergência do método; preencher a tabela com os x_i^{(k)} e \epsilon^{k}=\max\{|x_i^{k}-x_i^{k-1}|\}.
c) Dizer se o método de Gauss–Jacobi atenderia o critério de convergência (justificar).
d) A partir da eliminação em (a), obter as matrizes L e U da fatoração A=LU.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes na forma fracionária (usei aproximações decimais com quatro casas onde necessário), regra de arredondamento: toda operação aritmética é arredondada a quatro casas decimais.]

Passo 2

Método de Eliminação de Gauss — explicação curta (o que vou fazer): escolhemos o pivô da primeira linha (a_{11}), zeramos a primeira coluna abaixo do pivô usando multiplicadores m_{i1}=a_{i1}/a_{11}, atualizamos linhas e arredondamos cada resultado a quatro casas decimais. Depois usamos o pivô da segunda linha para zerar abaixo, e assim por diante. Sempre que eu multiplicar ou subtrair, vou arredondar o resultado final da operação a quatro casas decimais (aritmética de ponto flutuante com 4 casas).
Escrevo a matriz aumentada inicial com aproximações decimais (arredondei os elementos fracionais a 4 casas):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1{,}0000 & 2{,}2500 & 1{,}1667 & 28{,}0000\\[4pt] 2{,}0000 & 1{,}6667 & 0{,}2500 & 47{,}0000\\[4pt] 0{,}4000 & 3{,}0000 & 3{,}5000 & 0{,}0000 \end{array}\right]
Zerar coluna 1 abaixo do pivô a_{11}=1{,}0000.
Multiplicadores:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{2{,}0000}{1{,}0000}=2{,}0000,\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{0{,}4000}{1{,}0000}=0{,}4000.
Atualizo R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1 (cada operação arredondada a 4 casas):
2\cdot R_1=(2{,}0000,\;4{,}5000,\;2{,}3334\;|\;56{,}0000)
R_2 - 2R_1=(0,\;1{,}6667-4{,}5000=-2{,}8333,\;0{,}2500-2{,}3334=-2{,}0834\;|\;47{,}0000-56{,}0000=-9{,}0000).
Atualizo R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1:
0{,}4\cdot R_1=(0{,}4000,\;0{,}9000,\;0{,}4667\;|\;11{,}2000)
R_3-0{,}4R_1=(0,\;3{,}0000-0{,}9000=2{,}1000,\;3{,}5000-0{,}4667=3{,}0333\;|\;0{,}0000-11{,}2000=-11{,}2000).
Matriz aumentada após primeira etapa:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1{,}0000 & 2{,}2500 & 1{,}1667 & 28{,}0000\\[4pt] 0 & -2{,}8333 & -2{,}0834 & -9{,}0000\\[4pt] 0 & 2{,}1000 & 3{,}0333 & -11{,}2000 \end{array}\right]
Agora pivô a_{22}=-2{,}8333. Multiplicador para zerar a_{32}:
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{2{,}1000}{-2{,}8333}=-0{,}741176\ldots\approx -0{,}7412\\ \text{(arred.)}.
Aplicando R_3 \leftarrow R_3 - m_{32}R_2 (note que -m_{32}=+0{,}7412, então é R_3+0{,}7412R_2). Calculo passo a passo e arredondo produtos:
0{,}7412\cdot R_2=(0{,}7412\cdot 0,\;0{,}7412\cdot(-2{,}8333),\;0{,}7412\cdot(-2{,}0834)\;|\;0{,}7412\cdot(-9{,}0000))
\approx(0,\;-2{,}1001,\;-1{,}5438\;|\;-6{,}6708).
Somando a R_3:
R_3 \leftarrow (0,\;2{,}1000-2{,}1001=-0{,}0001,\;3{,}0333-1{,}5438=1{,}4895\;|\;-11{,}2000-6{,}6708=-17{,}8708).
Matriz triangular superior (após eliminação):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1{,}0000 & 2{,}2500 & 1{,}1667 & 28{,}0000\\[4pt] 0 & -2{,}8333 & -2{,}0834 & -9{,}0000\\[4pt] 0 & -0{,}0001 & 1{,}4895 & -17{,}8708 \end{array}\right]
Observe: devido ao arredondamento aparece um pequeno valor -0{,}0001 em (3,2).]

Passo 3

Back substitution (resolver Ux=y com aritmética a 4 casas):
Equação da linha 3:
1{,}4895\,x_3 = -17{,}8708 \quad\Rightarrow\quad x_3 = \frac{-17{,}8708}{1{,}4895}\approx -11{,}9979.
(arredondei o quociente a 4 casas: -11{,}9979).
Linha 2:
-2{,}8333\,x_2 + (-2{,}0834)\,x_3 = -9{,}0000.
Substituo x_3=-11{,}9979. Produto (-2{,}0834)\cdot(-11{,}9979)\approx 24{,}9964 (arred.). Logo
-2{,}8333\,x_2 = -9{,}0000 - 24{,}9964 = -33{,}9964 \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{33{,}9964}{2{,}8333}\approx 11{,}9989.
Linha 1:
1{,}0000\,x_1 + 2{,}2500\,x_2 + 1{,}1667\,x_3 = 28{,}0000.
Substituo x_2=11{,}9989, x_3=-11{,}9979.
2{,}2500\cdot 11{,}9989 \approx 26{,}9975,\qquad 1{,}1667\cdot(-11{,}9979)\approx -13{,}9979.
Então
x_1 = 28{,}0000 - 26{,}9975 -(-13{,}9979) = 15{,}0004.
Resultado (Gauss com 4 casas em cada operação): \;x_1\approx 15{,}0004,\;x_2\approx 11{,}9989,\;x_3\approx -11{,}9979.

Passo 4

Preparação para Gauss–Seidel: garantir convergência.
Critério suficiente simples e prático: se a matriz for estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou simétrica definida positiva), Gauss–Seidel converge. Verifico a dominância nas linhas da matriz original A (valores decimais):
Linha 1: |a_{11}|=1{,}0000 e soma dos outros módulos |2{,}2500|+|1{,}1667|=3{,}4167 — falha (1 < 3{,}4167).
Linha 2: |a_{22}|=1{,}6667 e soma |2|+|0{,}25|=2{,}2500 — falha se tomada nessa ordem (note que para linha 2 mesma linha a diagonal é a_{22}=\tfrac{5}{3}=1{,}6667 e soma dos outros é 2{,}25).
Linha 3: |a_{33}|=3{,}5 e soma |0{,}4|+|3|=3{,}4 — esta linha é estritamente dominante.
Como a matriz original não é estritamente diagonalmente dominante por linhas na ordenação dada, podemos tentar permutar as equações (reordenar as linhas) para obter dominância. Trocando as linhas 1 e 2 (isto é, usar a ordem de equações: linha original 2, depois 1, depois 3) obtemos a matriz com diagonais (2{,}0000,\;2{,}2500,\;3{,}5000) e os somatórios dos demais elementos em cada linha são menores que o elemento diagonal em cada linha — portanto, com essa permutação obtemos estrita dominância linha a linha. Conclusão: podemos reordenar as equações (trocar a 1ª com a 2ª) e, então, garantir a convergência do método de Gauss–Seidel na nova ordem. Vou aplicar Gauss–Seidel nas equações reordenadas (isso não altera a solução, apenas a ordem em que usamos as equações no método iterativo).
As equações após trocar linha 1 ↔ linha 2 (mantendo o vetor b trocado na mesma ordem) são:
\begin{cases} 2x_1 + 1{,}6667x_2 + 0{,}2500x_3 = 47{,}0000,\\[4pt] 1x_1 + 2{,}2500x_2 + 1{,}1667x_3 = 28{,}0000,\\[4pt] 0{,}4000x_1 + 3x_2 + 3{,}5000x_3 = 0{,}0000. \end{cases}
Formas iterativas (Gauss–Seidel, usando as últimas atualizações imediatamente):
x_1 \leftarrow \frac{47 - 1{,}6667x_2 - 0{,}25x_3}{2}, \quad x_2 \leftarrow \frac{28 - x_1 - 1{,}1667x_3}{2{,}25}, \quad x_3 \leftarrow \frac{-0{,}4x_1 - 3x_2}{3{,}5}.]

Passo 5

Aplicação de Gauss–Seidel (aritmética com 4 casas, x^{(0)}=(0,0,0), máximo 5 iterações). Em cada passo arredondei os resultados intermédios e os valores de x_i^{(k)} para 4 casas. Calculei \epsilon^{k}=\max_i|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}|.
Tabela (preenchida com as iterações pedidas):
\begin{array}{c|c c c|c} k & x_1^{(k)} & x_2^{(k)} & x_3^{(k)} & \epsilon^{k}\\hline 0 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & \\\\ 1 & 23{,}5000 & 2{,}0000 & -4{,}4000 & 23{,}5000\\[4pt] 2 & 22{,}3833 & 4{,}7779 & -6{,}6534 & 2{,}7779\\[4pt] 3 & 20{,}3501 & 6{,}8399 & -8{,}1885 & 2{,}0620\\[4pt] 4 & 18{,}8237 & 8{,}3232 & -9{,}2855 & 1{,}5264\\[4pt] 5 & 17{,}7247 & 9{,}3704 & -10{,}0575 & 1{,}0990 \end{array}
Comentário sobre convergência: a tolerância pedida era \epsilon<10^{-4}; após 5 iterações \epsilon^{5}=1{,}0990 (muito maior que 10^{-4}). Ou seja, com o número máximo de 5 iterações e os arredondamentos a 4 casas, o critério de precisão não é atingido. As entradas acima foram obtidas seguindo rigorosamente as fórmulas iterativas e arredondando a cada operação a 4 casas conforme solicitado.]

Passo 6

Resposta sobre Gauss–Jacobi (critério de convergência): o critério simples de verificação é a dominância diagonal por linhas na ordenação dada. A matriz original, na ordenação apresentada no enunciado, NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas (linha 1: |a_{11}|=1{,}0000 < 3{,}4167=\sum_{j\ne1}|a_{1j}|). Portanto, o Método de Gauss–Jacobi não atende ao critério suficiente de convergência pela dominância diagonal na ordenação dada. Conclusão: Gauss–Jacobi não satisfaz o critério de convergência (na ordenação original).

Passo 7

Fatoração LU (usar os multiplicadores calculados no processo de eliminação em (a); aritmética com 4 casas). Dos cálculos da eliminação obtivemos:
m_{21}=2{,}0000,\qquad m_{31}=0{,}4000,\qquad m_{32}=-0{,}7412.
Então L (matriz lower com 1s na diagonal e os multiplicadores abaixo) e U (matriz superior obtida após eliminação) são, com entradas arredondadas a 4 casas:
L=\begin{pmatrix} 1{,}0000 & 0 & 0\\[4pt] 2{,}0000 & 1{,}0000 & 0\\[4pt] 0{,}4000 & -0{,}7412 & 1{,}0000 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1{,}0000 & 2{,}2500 & 1{,}1667\\[4pt] 0 & -2{,}8333 & -2{,}0834\\[4pt] 0 & -0{,}0001 & 1{,}4895 \end{pmatrix}.
Essas L e U são as matrizes da fatoração A\approx LU na aritmética com quatro casas decimais usada acima.]

Resposta

(a) \;x_1=15{,}0004,\;x_2=11{,}9989,\;x_3=-11{,}9979.
(b)
k=0: x_1^{0}=0{,}0000,\;x_2^{0}=0{,}0000,\;x_3^{0}=0{,}0000.
k=1: x_1^{1}=23{,}5000,\;x_2^{1}=2{,}0000,\;x_3^{1}=-4{,}4000,\;\epsilon^{1}=23{,}5000.
k=2: x_1^{2}=22{,}3833,\;x_2^{2}=4{,}7779,\;x_3^{2}=-6{,}6534,\;\epsilon^{2}=2{,}7779.
k=3: x_1^{3}=20{,}3501,\;x_2^{3}=6{,}8399,\;x_3^{3}=-8{,}1885,\;\epsilon^{3}=2{,}0620.
k=4: x_1^{4}=18{,}8237,\;x_2^{4}=8{,}3232,\;x_3^{4}=-9{,}2855,\;\epsilon^{4}=1{,}5264.
k=5: x_1^{5}=17{,}7247,\;x_2^{5}=9{,}3704,\;x_3^{5}=-10{,}0575,\;\epsilon^{5}=1{,}0990.
(c) Não. O Método de Gauss–Jacobi não atende ao critério suficiente de convergência (a matriz original não é estritamente diagonalmente dominante por linhas).
(d)
L=\begin{pmatrix} 1{,}0000 & 0 & 0\\[4pt] 2{,}0000 & 1{,}0000 & 0\\[4pt] 0{,}4000 & -0{,}7412 & 1{,}0000 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1{,}0000 & 2{,}2500 & 1{,}1667\\[4pt] 0 & -2{,}8333 & -2{,}0834\\[4pt] 0 & -0{,}0001 & 1{,}4895 \end{pmatrix}.

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