Supondo que conhecemos x^*=4.7 com erro relativo menor ou igual a 10^-5, estime o erro relativo para calcular f(x)=exp (-47 x^2) ?

Passo 1

O enunciado diz o seguinte: “Sabemos que uma aproximação de f(x)=expl(-47,x^2r) é e que o erro relativo em é, no máximo, . Queremos estimar o erro relativo em
Conteúdo: vamos usar análise de erros e condição de problema pra funções reais. Precisamos de noções de erro relativo, derivada de e do número de condição .

Passo 2

Teoria envolvida:
  1. Erro relativo em varepsilonf approx kappa(x),varepsilonx, é kappa(x) =l|x,f'(x)f(x)r| .
  2. Para uma função , se perturbamos em , o erro relativo em satisfaz, em primeira ordem,
onde o número de condição é
Isso mede o quanto um erro em se amplifica em .

Passo 3

Vamos achar f(x)=e^-47x^2 Longrightarrow f'(x)=ddxl(e^-47x^2r) =-94,x,e^-47x^2 .
kappa(x) =l|xcdot(-94,x,e^-47x^2)e^-47x^2r| =|-94|;x^2 =94,x^2
Agora montamos kappa(4,7)=94,(4,7)^2 :
Em :

Passo 4

Só calcular (4,7)^2 = 22,09, 94cdot22,09 approx 2076,46 e estimar varepsilonf approx kappa(4,7),varepsilonx <= 2076,46times10^-5 approx 2,0765times10^-2 :
Como ,

Resposta

O erro relativo em é, aproximadamente, (ou cerca de 2,08%).

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