Suponha que a função f(x) esteja definida em algum intervalo aberto I contendo 0 número c , exceto possivelmente em c. Suponha também que existe algum número M para 0 qual haja um de0, tal que se 0<|x-c|, entăo f(x) >= M. Prove que, se lim x c f(x) existir e for igual a L entăo L >= M.

Passo 1

Beleza, aqui a parada é a seguinte: temos uma função f(x);>=;M definida num intervalo que contém o ponto (pode até não estar definida em , mas tudo bem). Sabemos também que existe um número e um tais que, sempre que , vale
O que queremos provar é: se existe e é igual a , então obrigatoriamente .
Conteúdo: limites de funções e uso da definição - , junto com um raciocínio por absurdo.

Passo 2

Vamos relembrar a definição de limite: dizer que
limxto cf(x)=L
significa que, para todo 0<|x-c|, existe um |f(x)-L| tal que, sempre que
então
Em palavras, fazendo suficientemente perto de (mas diferente de ), fica dentro do intervalo .

Passo 3

A técnica por absurdo é bem direta: supõe que o que queremos provar seja falso. Então, suponha
L < M
Se isso rolou, a diferença varepsilon = M - L > 0 é positiva. Vamos definir

Passo 4

Pela definição de limite, com esse |f(x) - L| < varepsilon Longrightarrow f(x) < L + varepsilon = L + (M-L) = M existe tal que se , então
Por outro lado, do enunciado sabemos que, sempre que , temos .
Basta tomar . Então, para temos simultaneamente
  1. ,
  2. .
    Isso é uma contradição! Logo a suposição não pode acontecer.

Resposta

Portanto .

Exercícios relacionados