Suponha que a função
esteja definida em algum intervalo aberto
contendo 0 número
exceto possivelmente em c. Suponha também que existe algum número
para 0 qual haja um
, tal que se
, entăo
. Prove que, se
existir e for igual a
entăo
.
Passo 1
Beleza, aqui a parada é a seguinte: temos uma função
definida num intervalo que contém o ponto
(pode até não estar definida em
, mas tudo bem). Sabemos também que existe um número
e um
tais que, sempre que
, vale
O que queremos provar é: se
existe e é igual a
, então obrigatoriamente
.
Conteúdo: limites de funções e uso da definição -
, junto com um raciocínio por absurdo.
Conteúdo: limites de funções e uso da definição
Passo 2
Vamos relembrar a definição de limite: dizer que
significa que, para todo
, existe um
tal que, sempre que
então
Em palavras, fazendo
suficientemente perto de
(mas diferente de
),
fica dentro do intervalo
.
Passo 3
A técnica por absurdo é bem direta: supõe que o que queremos provar seja falso. Então, suponha
Se isso rolou, a diferença
é positiva. Vamos definir
Passo 4
Pela definição de limite, com esse
existe
tal que se
, então
Por outro lado, do enunciado sabemos que, sempre que
, temos
.
Basta tomar . Então, para
temos simultaneamente
Basta tomar
-
, -
.
Isso é uma contradição! Logo a suposiçãonão pode acontecer.
Resposta
Portanto
.