Converta os seguintes números decimais para sua forma binária (para os números decimais use, no máximo, 4 casas):
w=10.813

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pedem: converter o número decimal w para a sua forma binária.
  • Dado: w=10{,}813.
  • Informações úteis extraídas do enunciado:
    • Parte inteira: 10.
    • Parte fracionária: 0{,}813.

Passo 2

Como converter a parte inteira (regra e ideia intuitiva).
  • Método: divisão sucessiva por 2. A cada divisão guarda-se o resto (que será 0 ou 1); ao final lê-se os restos de baixo para cima.
  • Por que funciona (explicação simples): escrever um inteiro na base 2 é expressá-lo como soma de potências de 2. A divisão por 2 descobre se o número tem a potência 2^{0} (resto), e o quociente continua com as potências superiores.
Aplicando a 10:
\begin{aligned} 10 \div 2 &= 5,\\ \text{resto }0\\\\ 5 \div 2 &= 2,\\ \text{resto }1\\\\ 2 \div 2 &= 1,\\ \text{resto }0\\\\ 1 \div 2 &= 0,\\ \text{resto }1 \end{aligned}
  • Lendo os restos de baixo para cima: \,10_{10} = 1010_2.

Passo 3

Como converter a parte fracionária (regra e ideia intuitiva).
  • Método: multiplicar a parte fracionária por 2 repetidas vezes. Em cada multiplicação:
    • o inteiro da multiplicação ( 0 ou 1) é o próximo dígito binário após a vírgula;
    • a nova parte fracionária é a parte decimal do produto, que será usada na próxima multiplicação.
  • Por que funciona (explicação simples): a expansão binária fracionária é \sum_{k=1}^{\infty} b_k 2^{-k}. Multiplicar por 2 desloca essa soma para a esquerda, levando o próximo bit para a parte inteira.
Vamos aplicar começando com 0{,}813. Vou gerar 15 bits fracicionais: isso costuma ser suficiente para preservar até 4 casas decimais na aproximação (explico o porquê depois).
Realizando as multiplicações (cada linha: resultado \Rightarrow bit obtido, resto/fracionário):
\begin{aligned} 0{,}813\times 2 &= 1{,}626 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }1,\\ \text{resto }0{,}626\\\\ 0{,}626\times 2 &= 1{,}252 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }1,\\ \text{resto }0{,}252\\\\ 0{,}252\times 2 &= 0{,}504 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0,\\ \text{resto }0{,}504\\\\ 0{,}504\times 2 &= 1{,}008 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }1,\\ \text{resto }0{,}008\\\\ 0{,}008\times 2 &= 0{,}016 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0,\\ \text{resto }0{,}016\\\\ 0{,}016\times 2 &= 0{,}032 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0,\\ \text{resto }0{,}032\\\\ 0{,}032\times 2 &= 0{,}064 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0,\\ \text{resto }0{,}064\\\\ 0{,}064\times 2 &= 0{,}128 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0,\\ \text{resto }0{,}128\\\\ 0{,}128\times 2 &= 0{,}256 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0,\\ \text{resto }0{,}256\\\\ 0{,}256\times 2 &= 0{,}512 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0,\\ \text{resto }0{,}512\\\\ 0{,}512\times 2 &= 1{,}024 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }1,\\ \text{resto }0{,}024\\\\ 0{,}024\times 2 &= 0{,}048 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0,\\ \text{resto }0{,}048\\\\ 0{,}048\times 2 &= 0{,}096 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0,\\ \text{resto }0{,}096\\\\ 0{,}096\times 2 &= 0{,}192 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0,\\ \text{resto }0{,}192\\\\ 0{,}192\times 2 &= 0{,}384 \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0,\\ \text{resto }0{,}384 \end{aligned}
  • Os 15 primeiros bits fracionários, na ordem, são: b_1 b_2 \dots b_{15} = 1\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0.
  • Isso dá a fração binária aproximada: 0{,}813_{10} \approx 0{,}110100000010000_2.

Passo 4

Montagem do número binário completo.
  • Parte inteira (do Passo 2): 1010_2.
  • Parte fracionária aproximada (do Passo 3): 0{,}110100000010000_2.
  • Juntando: w = 10{,}813_{10} \approx 1010{,}110100000010000_2.

Passo 5

Verificação da precisão e comentário final (motivação da escolha de 15 bits).
  • A aproximação obtida para a parte fracionária vale numericamente 0{,}110100000010000_2 = \sum_{k=1}^{15} b_k 2^{-k} = 0{,}81298828125_{10}.(isto foi obtido somando 1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/2^{11}.)
  • Erro absoluto em relação a 0{,}813: |0{,}813 - 0{,}81298828125| = 0{,}00001171875,ou seja, cerca de 1{,}17\times 10^{-5}.
  • Justificativa dos 15 bits: truncar após n bits garante erro menor que 2^{-n}. Para preservar até 4 casas decimais (erro < 5\times 10^{-5}) basta ter 2^{-n}<5\times10^{-5}, o que dá n\ge 15. Por isso escolhi 15 bits: boa precisão sem alongar demais a expansão.

Resposta

\,w \approx 1010{,}110100000010000_2

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