Converta os seguintes números decimais para sua forma binária (para os números decimais use, no máximo, 4 casas):
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
- Pedem: converter o número decimal
para a sua forma binária. - Dado:
. - Informações úteis extraídas do enunciado:
- Parte inteira:
. - Parte fracionária:
.
- Parte inteira:
Passo 2
Como converter a parte inteira (regra e ideia intuitiva).
- Método: divisão sucessiva por
. A cada divisão guarda-se o resto (que será ou ); ao final lê-se os restos de baixo para cima. - Por que funciona (explicação simples): escrever um inteiro na base
é expressá-lo como soma de potências de . A divisão por descobre se o número tem a potência (resto), e o quociente continua com as potências superiores.
Aplicando a
:
- Lendo os restos de baixo para cima:
.
Passo 3
Como converter a parte fracionária (regra e ideia intuitiva).
- Método: multiplicar a parte fracionária por
repetidas vezes. Em cada multiplicação: - o inteiro da multiplicação (
ou ) é o próximo dígito binário após a vírgula; - a nova parte fracionária é a parte decimal do produto, que será usada na próxima multiplicação.
- o inteiro da multiplicação (
- Por que funciona (explicação simples): a expansão binária fracionária é
. Multiplicar por desloca essa soma para a esquerda, levando o próximo bit para a parte inteira.
Vamos aplicar começando com
. Vou gerar
bits fracicionais: isso costuma ser suficiente para preservar até 4 casas decimais na aproximação (explico o porquê depois).
Realizando as multiplicações (cada linha: resultado
bit obtido, resto/fracionário):
- Os 15 primeiros bits fracionários, na ordem, são:
- Isso dá a fração binária aproximada:
Passo 4
Montagem do número binário completo.
- Parte inteira (do Passo 2):
. - Parte fracionária aproximada (do Passo 3):
. - Juntando:
Passo 5
Verificação da precisão e comentário final (motivação da escolha de 15 bits).
- A aproximação obtida para a parte fracionária vale numericamente
(isto foi obtido somando .) - Erro absoluto em relação a
: ou seja, cerca de . - Justificativa dos
bits: truncar após bits garante erro menor que . Para preservar até 4 casas decimais (erro < ) basta ter , o que dá . Por isso escolhi 15 bits: boa precisão sem alongar demais a expansão.