Suponha que em uma dada empresa, seu prejuizo anual pode assumir 3 valores, dependendo das condições do mercado. O prejuizo (em milhões), é dado pela equação f(P)=P^3-P-1. Usando-se como critério de parada apenas |Pk+1-Pk| pede-se:
(1.0) Ache um dos possíveis prejuizos P (dado pela raiz positiva de f(P) ), através do método de Newton-Raphson, usando precisão de 4 casas decimais. Use varepsilon=10^-2 e P0=1,5.

Passo 1

Beleza, o problema diz que a gente tem a função
f(P)=P^3 - P - 1
e quer achar a raiz positiva dessa função (ou seja, o prejuízo l|Pk+1-Pkr| que zera ). A gente vai usar o método de Newton–Raphson com critério de parada
e chute inicial .
Conteúdo:
  • Newton–Raphson: .
  • Derivada: .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(1,5)=1,5^3 - 1,5 -1 =3,375 -2,5 =0,875, .
  1. Avalia f'(1,5)=3,(1,5)^2 -1 =3cdot2,25 -1 =6,75 -1 =5,75 e P1 = 1,5 - 0,8755,75 approx 1,3478 :
|P1 - P0| = |1,3478 - 1,5| =0,1522 >0,01,
  1. Aplica a fórmula:
  1. Diferença:
ainda não satisfeito, vamos em frente.

Passo 3

Agora f(1,3478)approx (1,3478)^3 - 1,3478 -1 approx 0,1008, :
  1. Avalia em f'(1,3478)approx 3,(1,3478)^2 -1 approx 4,4514 :
P2 = 1,3478 - 0,10084,4514 approx 1,3252
|P2 - P1| = |1,3252 - 1,3478| =0,0226 >0,01
  1. Itera:
  1. Diferença:

Passo 4

Agora f(1,3252)approx (1,3252)^3 - 1,3252 -1 approx 0,0037, :
  1. Avalia em f'(1,3252)approx 3,(1,3252)^2 -1 approx 4,2684 :
P3 = 1,3252 - 0,00374,2684 approx 1,3243
|P3 - P2| = |1,3243 - 1,3252| =0,0009 <0,01
  1. Itera:
  1. Diferença:
Pronto, critério satisfeito, paramos.

Resposta

O prejuízo positivo aproximado (raiz de boxedP approx 1,3243 ) é

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