Suponha que em projetos de aeronaves bimotoras, 3 fatores de sustentação: A (arrasto), V (velocidade em m / s ) e P (peso em toneladas) são considerados. Verificou-se que a sustentação de uma aeronave é dada pelo fator A vezes o fator V e subtraída pelo fator P , onde esses fatores variam para cada aeronave ( S=A * V-P ). Assumindo que A, V, e P são representados exatamente, pede-se para esse problema:
(2.0) Calcule o erro relativo para a sustentação S, considerando o truncamento nessa situação.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a sustentação de uma aeronave é dada por
S = A times V ;-; P,
onde A, V e P estão representados exatamente (ou seja, sem erro nas suas “entradas”). O que a gente precisa agora é: calcular o erro relativo de quando a gente faz as operações (multiplicação e subtração) usando truncamento do resultado em ponto-flutuante.
Conteúdo envolvido: análise de erro em ponto-flutuante, especialmente erro de truncamento em multiplicação e em subtração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a teoria do truncamento em ponto-flutuante:
  • Se fazemos um produto exato l|(Atimes V)rm tr - (Atimes V)r| <= u,|Atimes V|, onde u = B^,1-p e depois truncamos o resultado a dígitos em base , o erro absoluto satisfaz É como dizer que o produto armazenado vale

    com .

Passo 3

Agora, vem a subtração: a gente pega Srm tr = l((Atimes V)rm tr - Pr) ,(1+de, subtrai Srm tr - S = l((A,V)(1+de (que é exato) e em seguida trunca de novo. Chamando esse resultado de |Srm tr - S| ;<=; u,|A,V| ;+; u,|A,V - P| , podemos escrever:
O erro total em é
Se a gente desprezar os termos de segunda ordem em , isso dá, em módulo,

Passo 4

Para achar o erro relativo, dividimos |Srm tr-S||S| ;<=; u,|A,V| + u,|A,V - P||S| = u;l(|A,V||S| + 1r) por :
[
\frac{|S_{\rm tr}-S|}{|S|}
;\le;
\frac{u,|A,V| + u,|A,V - P|}{|S|}

u;\Bigl(\frac{|A,V|}{|S|} + 1\Bigr).
]

Resposta

O erro relativo máximo ao usar truncamento em ambas as operações satisfaz
boxed |Srm tr-S||S| ;<=; u;l(|A,V||S| + 1r), onde u = B^1-p,

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