Suponha que
é uma função real contínua em
. Julgue como verdadeira ou falsa a informação a seguir, justificando.
Se
e
então são necessário pelo menos 5 iterações para se obter a raiz com a precisão adequada.
Se
Passo 1
Beleza, vamos resumir o problema. A gente tem uma função contínua
em
com sinais opostos em
e
, ou seja
. Isso garante pelo Teorema de Bolzano que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Aqui os dados são
Aqui os dados são
-
-
- precisão desejada
A pergunta é: “é verdade ou falso que são necessárias pelo menos 5 iterações do método da bisseção para garantir essa precisão?”
Passo 2
Vamos usar o método da bisseção. A cada iteração ele “corta” o intervalo ao meio, e o erro (distância máxima da raiz) satisfaz a fórmula:
Aqui,
. Para garantir precisão
, precisamos que
Isso vem da ideia de que, depois de
cortes, o tamanho do intervalo onde a raiz pode estar é
.
Passo 3
Agora é só resolver a desigualdade para
:
Como
e
,
Pra
inteiro, a gente precisa de
iterações.
Passo 4
O enunciado dizia “pelo menos 5 iterações”. Mas vimos que 5 iterações dariam erro no máximo
, muito maior que
.
Resposta
Falsa. São necessárias, na verdade, pelo menos 17 iterações para alcançar
.