Suponha que f(x) é uma função real contínua em [a, b] com f(a) f(b)<0. Julgue como verdadeira ou falsa a informação a seguir, justificando.
Se a=0, b=1 e varepsilon=10^-5 então são necessário pelo menos 5 iterações para se obter a raiz com a precisão adequada.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o problema. A gente tem uma função contínua em com sinais opostos em e , ou seja . Isso garante pelo Teorema de Bolzano que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Aqui os dados são
  • precisão desejada
    A pergunta é: “é verdade ou falso que são necessárias pelo menos 5 iterações do método da bisseção para garantir essa precisão?”

Passo 2

Vamos usar o método da bisseção. A cada iteração ele “corta” o intervalo ao meio, e o erro (distância máxima da raiz) satisfaz a fórmula:
erron ;<=; b - a2^n
Aqui, 12^n ;<=; 10^-5 . Para garantir precisão , precisamos que
Isso vem da ideia de que, depois de cortes, o tamanho do intervalo onde a raiz pode estar é .

Passo 3

Agora é só resolver a desigualdade para 12^n <= 10^-5 ;Long<=ftrightarrow; 2^n >= 10^5 ;Long<=ftrightarrow; n >= log2(10^5) :
log2(10^5) = log10(10^5)log10(2) approx 50,3010 approx 16,61
Como e ,
Pra inteiro, a gente precisa de iterações.

Passo 4

O enunciado dizia “pelo menos 5 iterações”. Mas vimos que 5 iterações dariam erro no máximo
, muito maior que .

Resposta

Falsa. São necessárias, na verdade, pelo menos 17 iterações para alcançar .

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