Utilizando essas informações, calcule a terceira coluna da inversa de A.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a matriz A satisfaz
P,A = L,U
onde P, L e U são as matrizes dadas. A matéria aqui é “fatoração LU com pivoteamento” e o que a gente quer é a terceira coluna de A,x = e3 . Lembrando que a terceira coluna de é exatamente o vetor solução do sistema
Para resolver, a gente vai usar o fato de que (e, como é permutação, ), transformar o sistema em e em seguida fazer substituição direta (forward) e reversa (backward).
Passo 2
Primeiro, calculamos
b = P,e3
Como P = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 , e
b = P,e3 = 100
a multiplicação pega a terceira coluna de L,U,x = b . Logo
Isso nos dá o sistema equivalente
Passo 3
Agora a gente resolve em dois passos: primeiro L = 1 & 0 & 0 tfrac12 & 1 & 0 tfrac13 & tfrac14 & 1 , b=100, (substituição direta), depois y = 1[3pt]-tfrac12[3pt]-tfrac524 (substituição reversa).