Suponha que uma matriz A satisfaz P A=L U, onde
[lll 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ] P=[lll 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 ], L=[ccc 1 & 0 & 0 1 / 2 & 1 & 0 1 / 3 & 1 / 4 & 1 ], e U=[lll 2 & 3 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 2 ]
Utilizando essas informações, calcule a terceira coluna da inversa de A.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a matriz A satisfaz
P,A = L,U
onde P, L e U são as matrizes dadas. A matéria aqui é “fatoração LU com pivoteamento” e o que a gente quer é a terceira coluna de A,x = e3 . Lembrando que a terceira coluna de é exatamente o vetor solução do sistema
Para resolver, a gente vai usar o fato de que (e, como é permutação, ), transformar o sistema em e em seguida fazer substituição direta (forward) e reversa (backward).

Passo 2

Primeiro, calculamos
b = P,e3
Como P = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 , e
b = P,e3 = 100
a multiplicação pega a terceira coluna de L,U,x = b . Logo
Isso nos dá o sistema equivalente

Passo 3

Agora a gente resolve em dois passos: primeiro L = 1 & 0 & 0 tfrac12 & 1 & 0 tfrac13 & tfrac14 & 1 , b=100, (substituição direta), depois y = 1[3pt]-tfrac12[3pt]-tfrac524 (substituição reversa).
Para , escrevendo e
temos as equações:
  1. .
  2. .





Logo

Passo 4

Agora a parte de substituição reversa em
U,x = y, U= 2 & 3 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 2 , x=(x1,x2,x3)^T
Da última linha:
2,x3 = y3 = -tfrac524 Longrightarrow x3 = -tfrac548
Da segunda linha:
1cdot x2 + 2,x3 = y2 = -tfrac12 Longrightarrow x2 + 2l(-tfrac548r) = -tfrac12
x2 - tfrac524 = -tfrac12 Longrightarrow x2 = -tfrac12 + tfrac524 = -tfrac1224 + tfrac524 = -tfrac724
Da primeira linha:
2,x1 + 3,x2 + 1cdot x3 = y1 = 1
2,x1 + 3l(-tfrac724r) + l(-tfrac548r) = 1
2,x1 - tfrac78 - tfrac548 = 1 Longrightarrow 2,x1 = 1 + tfrac78 + tfrac548 = tfrac4848 + tfrac4248 + tfrac548 = tfrac9548
x1 = tfrac9596

Resposta

A terceira coluna de tfrac9596[4pt] -tfrac724[4pt] -tfrac548 é

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