Suponha que queremos achar a spline cúbica que passa pelos pontos x0=1, x1=1.5 e x2=2.5 com f(x0)=0, f(x1)=2, f(x2)=1.5. Lembrando que a formula e si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)^2+di(x-xi)^3 para i=0,1 e x in|xi, xi+1|, responda ao que se pede
Assumindo que s0(x1)=f(x1), mostre que b0+0.5 c0+0.25 d0=4.

Passo 1

Beleza, a questão é sobre spline cúbica passando pelos pontos
b0 + 0.5,c0 + 0.25,d0 = 4 , s0(x)=a0+b0(x-x0)+c0(x-x0)^2+d0(x-x0)^3 e s0(x0)=f(x0), s0(x1)=f(x1) com valores
, e .
O objetivo aqui é mostrar, usando a fórmula do pedaço da spline no intervalo , que
Conteúdo: spline cúbica (polinômio de grau 3 em cada intervalo) e condição de interpolação .
O que vamos precisar:
  • A forma geral do pedaço da spline:
  • A condição de interpolação em e :

Passo 2

  1. Primeiro, pela condição s0(1)=a0+b0(1-1)+c0(1-1)^2+d0(1-1)^3=a0=0 e sabendo que s0(1.5) =a0+b0(1.5-1)+c0(1.5-1)^2+d0(1.5-1)^3 e s0(1.5) =0 +b0cdot0.5 +c0cdot(0.5)^2 +d0cdot(0.5)^3 =0.5,b0+0.25,c0+0.125,d0 , fazemos
    0.5,b0 + 0.25,c0 + 0.125,d0 = 2
    Logo b0 + 0.5,c0 + 0.25,d0 ;=; 4 .
  2. Agora usamos , com e . Substituindo na fórmula:
    Sabendo que e , fica
    Como , temos
  3. Para chegar no que pedem, basta multiplicar tudo por 2:

Resposta

b_{0} + 0.5,c_{0} + 0.25,d_{0} = 4.

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