- Utilize um método de iteração de ponto fixo para determinar uma solução com precisão de
para 2 sen
em [1,2]. Utilize
.
- Seja
uma constante positiva dada e
.
a. Mostre que se a iteração de ponto fixo convergir para um limite não-nulo, o limite será
, de modo que o inverso de um número possa ser determinado simplesmente por meio de multiplicações e
subtrações.
b. Determine um intervalo em torno de
para o qual a iteração de ponto fixo convirja, desde que
esteja neste intervalo.
a. Mostre que se a iteração de ponto fixo convergir para um limite não-nulo, o limite será
subtrações.
b. Determine um intervalo em torno de
Passo 1
Beleza, temos dois probleminhas de iteração de ponto fixo:
- (15) Encontrar, com precisão de
, a raiz de no intervalo , usando iteração de ponto-fixo e ponto inicial . - (16) Dada a iteração
a) provar que, se converge para limite , esse limite é .
b) achar em torno deum intervalo onde , garantindo convergência.
Matéria envolvida: método de iteração de ponto-fixo (contracção e condição
), e no caso (15) a gente vai usar o esquema de Newton como um caso particular de iteração de ponto-fixo
porque vira
.
Passo 2
(15) Definindo
a iteração de Newton é
Isso é um ponto-fixo com
. Vamos iterar até
, com
.
-
-
, continua. -
repetindo, achamos
Pronto: a iteração já dá diferença menor que
.
Passo 3
(16-a) Se
é ponto-fixo então
Como queremos limite não-zero,
e daí
Passo 4
(16-b) Para convergência pelo teorema do ponto-fixo precisamos
em torno de
.
Exigimos
Logo, se
, a iteração converge para
.
Resposta
(15) A raiz aproximada é
(erro abaixo de
).
(16-a) O único limite não-trivial é .
(16-b) A iteração converge sempre que
(16-a) O único limite não-trivial é
(16-b) A iteração converge sempre que
pois ali
.