1. Utilize um método de iteração de ponto fixo para determinar uma solução com precisão de 10^-2 para 2 sen pi x+x=0 em [1,2]. Utilize p0=1.
  2. Seja A uma constante positiva dada e g(x)=2 x-A x^2.
    a. Mostre que se a iteração de ponto fixo convergir para um limite não-nulo, o limite será p=1 / A, de modo que o inverso de um número possa ser determinado simplesmente por meio de multiplicações e
    subtrações.
    b. Determine um intervalo em torno de 1 / A para o qual a iteração de ponto fixo convirja, desde que p0 esteja neste intervalo.

Passo 1

Beleza, temos dois probleminhas de iteração de ponto fixo:
  • (15) Encontrar, com precisão de f(x)=2sin(pi x)+x=0 , a raiz de g(x)=2x - A x^2, A>0, no intervalo pn+1=pn-f(pn)f'(pn), , usando iteração de ponto-fixo e ponto inicial .
  • (16) Dada a iteração a) provar que, se converge para limite , esse limite é .
    b) achar em torno de um intervalo onde , garantindo convergência.
Matéria envolvida: método de iteração de ponto-fixo (contracção e condição ), e no caso (15) a gente vai usar o esquema de Newton como um caso particular de iteração de ponto-fixo
porque vira .

Passo 2

(15) Definindo
f(x)=2sin(pi x)+x, f'(x)=2picos(pi x)+1,
a iteração de Newton é
pn+1 = pn - 2sin(pi pn)+pn2picos(pi pn)+1
Isso é um ponto-fixo com f(1)=2sinpi+1=1, f'(1)=2picospi+1=1-2piapprox-5.283 . Vamos iterar até p1 =1 - 1-5.283 approx 1 + 0.1892 =1.1892 , com f(p1)=2(-0.567)+1.1892=-1.134+1.1892=0.0552, f'(p1)=2pi(-0.823)+1=-5.172+1=-4.172 .
  1. p2 =1.1892 - 0.0552-4.172 approx 1.1892 + 0.0132 =1.2024 p3approx1.2028, lvert p3-p2rvertapprox0.0004<0.01

  2. , continua.

  3. repetindo, achamos
Pronto: a iteração já dá diferença menor que .

Passo 3

(16-a) Se p = g(p) = 2p - A p^2 ;Longrightarrow; A p^2 - p = 0 ;Longrightarrow; p(Ap-1)=0 é ponto-fixo então
p=1A
Como queremos limite não-zero, e daí

Passo 4

(16-b) Para convergência pelo teorema do ponto-fixo precisamos g'(x)=2 - 2Ax em torno de |2-2Ax|<1 Long<=ftrightarrow -1<2(1-Ax)<1 Long<=ftrightarrow 0.5.
Exigimos
Logo, se , a iteração converge para .

Resposta

(15) A raiz aproximada é p0inl(tfrac0.5A,,tfrac1.5Ar), (erro abaixo de ).
(16-a) O único limite não-trivial é .
(16-b) A iteração converge sempre que
pois ali .

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