Suponha que f e h sejam contínuas e que integral-1^1 f(x) d x=5, integral1^4 f(x) d x=-2 e integral-1^1 g(x) d x=7. Determine: integral-1^1[2 f(x)+3 g(x)] d x

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é que temos duas funções contínuas (f e g) e já sabemos alguns valores das integrais definidas delas:
  • integral-1^1 l[2,f(x) + 3,g(x)r] ,dx
  • (essa, na verdade, não vamos usar)
O que pedem é calcular
Matéria: cálculo de integrais definidas, em especial a propriedade de linearidade da integral. Vamos precisar só dessa propriedade para resolver.

Passo 2

Primeiro, o que é essa tal linearidade da integral?
  1. Integral de soma:
    integral l[a,f(x) + b,g(x)r],dx = a integral f(x),dx + b integral g(x),dx
  2. Fator constante sai da integral:

    onde é um número real.
Juntando as duas, temos
É isso que vamos usar!

Passo 3

Aplicando exatamente essa regra ao nosso integral:
integral-1^1 l[2,f(x) + 3,g(x)r],dx = 2 integral-1^1 f(x),dx ;+; 3 integral-1^1 g(x),dx

Passo 4

Agora é só substituir os valores que já conhecemos:
2 integral-1^1 f(x),dx + 3 integral-1^1 g(x),dx = 2 cdot 5 ;+; 3 cdot 7 = 10 + 21 = 31

Resposta

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