Suponha que você deseja calcular
em um computador capaz de somente somar, subtrair e multiplicar. Responda:
Use o método de Newton para estabelecer uma forma de calcular
(dica: note que
é o zero de
.
Use o método de Newton para estabelecer uma forma de calcular
Passo 1
Beleza, então a ideia é calcular uma divisão
em uma máquina que só faz soma, subtração e multiplicação. Para isso, a gente vai primeiro achar
usando o método de Newton, e aí depois multiplica por
. O conteúdo aqui é “método de Newton para achar raízes de funções”. O que precisamos:
- Definir uma função
cuja raiz seja . - Saber a fórmula geral do método de Newton:
.
Passo 2
Primeiro, escolhemos a função. Queremos que
anule
.
Então definimos
Então definimos
Repara: se
, aí
, logo
. Sacou?
Passo 3
Agora precisamos da derivada de
.
Passo 4
Aplicando Newton:
Simplificando:
Passo 5
Pronto! Essa iteração usa só soma e multiplicação. A cada passo fica mais perto de
. Depois que convergir você faz
Resposta
A fórmula de iteração de Newton para aproximar
é
E aí, quando
, basta multiplicar por
para ter
.