Suponha que você deseja calcular b / a em um computador capaz de somente somar, subtrair e multiplicar. Responda:
Use o método de Newton para estabelecer uma forma de calcular 1 / a (dica: note que 1 / a é o zero de f(x)=1 / x-a).

Passo 1

Beleza, então a ideia é calcular uma divisão em uma máquina que só faz soma, subtração e multiplicação. Para isso, a gente vai primeiro achar usando o método de Newton, e aí depois multiplica por . O conteúdo aqui é “método de Newton para achar raízes de funções”. O que precisamos:
  • Definir uma função cuja raiz seja .
  • Saber a fórmula geral do método de Newton:
    .

Passo 2

Primeiro, escolhemos a função. Queremos que f(x) = 1x - a anule .
Então definimos
Repara: se , aí , logo . Sacou?

Passo 3

Agora precisamos da derivada de f(x) = x^-1 - a ;;Longrightarrow;; f'(x) = -,x^-2 = -1x^2 .

Passo 4

Aplicando Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) = xn - 1xn-a-1xn^2 = xn + l(tfrac1xn-ar),xn^2
Simplificando:
xn+1 = xn + xn - a,xn^2 = 2,xn - a,xn^2 = xn,(2 - a,xn)

Passo 5

Pronto! Essa iteração usa só soma e multiplicação. A cada passo fica mais perto de ba = b times l(limntoinfty xnr) . Depois que convergir você faz

Resposta

A fórmula de iteração de Newton para aproximar boxedxn+1 = xn,l(2 - a,xnr) é
E aí, quando , basta multiplicar por para ter .

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