Suponha que você deseja calcular b / a em um computador capaz de somente somar, subtrair e multiplicar. Responda:
Mostre que o método de Newton converge quando o ponto inicial x0 está no intervalo [1 / 2 a, 3 / 2 a].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: queremos calcular x0inl[tfrac12a,;tfrac32ar], num computador que só sabe somar, subtrair e multiplicar. O truque é usar o Método de Newton para achar o inverso de (ou seja, ) e, depois, multiplicar por . A questão pede especificamente para mostrar que, se o palpite inicial
então o método de Newton vai convergir direitinho para .
Conteúdo e o que a gente precisa:
  • Definir a função que zera em .
  • Derivar a fórmula do Método de Newton para essa função.
  • Analisar o iterador como função de ponto fixo e mostrar que, no intervalo dado, ele envia o intervalo em si mesmo e ainda é monotônico em relação a .
  • Concluir convergência pela propriedade de sequência monotônica e limitada.

Passo 2

Escolhendo a função
f(x)=1x - a,
temos que o zero dela é f'(x)=-1x^2 .
A derivada é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) = xn - 1xn-a-!1/xn^2 = xn + l(tfrac1xn-ar),xn^2 = 2,xn - a,xn^2
Aplicando a fórmula de Newton,
boxedxn+1 ;=; g(xn), g(x)=2x - a x^2
Então nossa iteração fica

Passo 3

Agora a gente quer mostrar que, se
L=12a, U=32a,
com
g(L) = 2cdot12a ;-; al(12ar)^2 = 1a - 14a = 34a
então
g(U) = 2cdot32a - al(32ar)^2 = 3a - 94a = 34a
também. Vamos calcular nos extremos:
  • Para L=tfrac12a=0,5/a: gl([L,U]r)subseteq [,g(L),,g(U),] = l[tfrac34a,,tfrac34ar] subset (L,U)
  • Para :
Veja que em ambos dá , e
Ou seja, manda os extremos para um ponto estritamente interno ao intervalo.
Como é contínua, o resultado é
Portanto, a cada passo ficamos “mais por dentro” do intervalo .

Passo 4

Além disso, é fácil ver que:
  • Se g(xn)=xn,(2-axn), então g(xn)=xn,(2-axn)>xnl(pois 2-axn>1r) , logo xn ;longrightarrow;1a Ou seja, a sequência é decrescente quando começa acima de .
  • Se , então , logo Aí a sequência é crescente quando começa abaixo de .
Em ambos os casos temos uma sequência monotônica e confinada dentro de , e o único ponto fixo de nesse intervalo é . Pelo Teorema de Convergência de sequências monotônicas e limitadas, concluímos que

Resposta

O Método de Newton aplicado em xn+1=2xn - a,xn^2, gera a iteração
que, partindo de qualquer , permanece nesse intervalo, é monotônica (para acima ou abaixo de ) e converge para . Em seguida basta multiplicar por para obter .

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