Suponha que você deseja calcular
em um computador capaz de somente somar, subtrair e multiplicar. Responda:
Mostre que o método de Newton converge quando o ponto inicial
está no intervalo
.
Mostre que o método de Newton converge quando o ponto inicial
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: queremos calcular
num computador que só sabe somar, subtrair e multiplicar. O truque é usar o Método de Newton para achar o inverso de
(ou seja,
) e, depois, multiplicar por
. A questão pede especificamente para mostrar que, se o palpite inicial
então o método de Newton vai convergir direitinho para
.
Conteúdo e o que a gente precisa:
- Definir a função que zera em
. - Derivar a fórmula do Método de Newton para essa função.
- Analisar o iterador como função de ponto fixo e mostrar que, no intervalo dado, ele envia o intervalo em si mesmo e ainda é monotônico em relação a
. - Concluir convergência pela propriedade de sequência monotônica e limitada.
Passo 2
Escolhendo a função
temos que o zero dela é
.
A derivada é
A derivada é
Aplicando a fórmula de Newton,
Então nossa iteração fica
Passo 3
Agora a gente quer mostrar que, se
com
com
então
também. Vamos calcular nos extremos:
também. Vamos calcular nos extremos:
- Para
: - Para
:
Veja que em ambos dá
, e
Ou seja,
manda os extremos para um ponto estritamente interno ao intervalo.
Como é contínua, o resultado é
Como
Portanto, a cada passo ficamos “mais por dentro” do intervalo
.
Passo 4
Além disso, é fácil ver que:
- Se
, então , logo Ou seja, a sequência é decrescente quando começa acima de . - Se
, então , logo Aí a sequência é crescente quando começa abaixo de .
Em ambos os casos temos uma sequência monotônica e confinada dentro de
, e o único ponto fixo de
nesse intervalo é
. Pelo Teorema de Convergência de sequências monotônicas e limitadas, concluímos que
Resposta
O Método de Newton aplicado em
gera a iteração
que, partindo de qualquer
, permanece nesse intervalo, é monotônica (para acima ou abaixo de
) e converge para
. Em seguida basta multiplicar por
para obter
.