Suponhamos que você tenha feito alguns ensaios de resistência em corpos de prova com diferentes combinações de agregado graúdo entre brita 0 e brita 1 . Na combinação 1 , entre todo o agregado graúdo, havia
de brita 0 e
de brita 1 . No traço 2 , havia
de brita 0 e
de brita 1 . No traço 3 havia
de brita 0 e
de brita 1 . Os resultados das resistências médias para traço foram:
RESULTADO DOS TESTES | |||
---|---|---|---|
Fração de Brita 1 | 0,25 | 0,5 | 0,75 |
Resistência | 10 | 20 | 20 |
Verifique qual é a resistência prevista pelo polinômio se for usada uma fração de 0,1 de brita 1 . Opine sobre a validade do resultado.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos três “traços” de concreto com frações de brita 1 iguais a 0,25, 0,5 e 0,75, e suas resistências médias são 10, 20 e 20. O que a gente quer é prever a resistência quando a fração de brita 1 for 0,1.
Conteúdo: interpolação polinomial (usando Lagrange) para ajustar um polinômio de grau 2 aos três pontos e depois extrapolar para x=0,1. Vamos precisar montar o polinômio que passe por (0,25,10), (0,5,20), (0,75,20) e em seguida calcular
.
Conteúdo: interpolação polinomial (usando Lagrange) para ajustar um polinômio de grau 2 aos três pontos e depois extrapolar para x=0,1. Vamos precisar montar o polinômio
Passo 2
Explicando a ideia de interpolação de Lagrange passo a passo:
- Cada ponto
gera uma “base” tal que se e . - O polinômio é
.
Aqui, ; , ; , .
Passo 3
Vamos montar cada
:
Passo 4
Agora juntamos tudo no polinômio:
Se você expandir, chega em
Mas não precisa decorar: dá pra usar direto
.
Passo 5
Vamos avaliar em
:
Ou montando com
dá o mesmo:
.
Passo 6
Opinião sobre validade:
Como 0,1 está fora da faixa dos dados (0,25 a 0,75), a gente está extrapolando. O fato de sair resistência negativa mostra que esse polinômio não faz sentido físico fora dos pontos originais. É um sinal de que não dá pra confiar no resultado!
Como 0,1 está fora da faixa dos dados (0,25 a 0,75), a gente está extrapolando. O fato de sair resistência negativa mostra que esse polinômio não faz sentido físico fora dos pontos originais. É um sinal de que não dá pra confiar no resultado!
Resposta
A resistência prevista é aproximadamente
, mas esse valor não é fisicamente válido (indica que a extrapolação do polinômio não é confiável).