Suponhamos que você tenha feito alguns ensaios de resistência em corpos de prova com diferentes combinações de agregado graúdo entre brita 0 e brita 1 . Na combinação 1 , entre todo o agregado graúdo, havia 75 % de brita 0 e 25 % de brita 1 . No traço 2 , havia 50 % de brita 0 e 50 % de brita 1 . No traço 3 havia 25 % de brita 0 e 75 % de brita 1 . Os resultados das resistências médias para traço foram:
RESULTADO DOS TESTES
Fração de Brita 1 0,25 0,5 0,75
Resistência 10 20 20
Verifique qual é a resistência prevista pelo polinômio se for usada uma fração de 0,1 de brita 1 . Opine sobre a validade do resultado.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três “traços” de concreto com frações de brita 1 iguais a 0,25, 0,5 e 0,75, e suas resistências médias são 10, 20 e 20. O que a gente quer é prever a resistência quando a fração de brita 1 for 0,1.
Conteúdo: interpolação polinomial (usando Lagrange) para ajustar um polinômio de grau 2 aos três pontos e depois extrapolar para x=0,1. Vamos precisar montar o polinômio P(x) que passe por (0,25,10), (0,5,20), (0,75,20) e em seguida calcular P(0,1).

Passo 2

Explicando a ideia de interpolação de Lagrange passo a passo:
  1. Cada ponto (xi,yi) gera uma “base” Li(x) tal que Li(xj)=0 se jneq i e Li(xi)=1.
  2. O polinômio é P(x)=sumi yi,Li(x).
    Aqui x0=0,25, y0=10; x1=0,5, y1=20; x2=0,75, y2=20.

Passo 3

Vamos montar cada Li(x):
L0(x)=(x-0,5)(x-0,75)(0,25-0,5)(0,25-0,75) =(x-0,5)(x-0,75)(-0,25)(-0,5) =8,(x-0,5)(x-0,75)
L1(x)=(x-0,25)(x-0,75)(0,5-0,25)(0,5-0,75) =(x-0,25)(x-0,75)0,25cdot(-0,25) =-16,(x-0,25)(x-0,75)
L2(x)=(x-0,25)(x-0,5)(0,75-0,25)(0,75-0,5) =(x-0,25)(x-0,5)0,5cdot0,25 =8,(x-0,25)(x-0,5)

Passo 4

Agora juntamos tudo no polinômio:
P(x)=10,L0(x)+20,L1(x)+20,L2(x)
Se você expandir, chega em
P(x)=-80x^2+100x-10
Mas não precisa decorar: dá pra usar direto P(x)=10cdot8(x-0,5)(x-0,75)+20cdot[-16(x-0,25)(x-0,75)]+20cdot8(x-0,25)(x-0,5).

Passo 5

Vamos avaliar em x=0,1:
P(0,1)=-80,(0,1)^2+100,(0,1)-10 =-80cdot0,01+10-10 =-0,8
Ou montando com Li(0,1) dá o mesmo: P(0,1)approx-0,8.

Passo 6

Opinião sobre validade:
Como 0,1 está fora da faixa dos dados (0,25 a 0,75), a gente está extrapolando. O fato de sair resistência negativa mostra que esse polinômio não faz sentido físico fora dos pontos originais. É um sinal de que não dá pra confiar no resultado!

Resposta

A resistência prevista é aproximadamente -0,8, mas esse valor não é fisicamente válido (indica que a extrapolação do polinômio não é confiável).

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