Considere os pares ordenados apresentados na tabela a seguir.
X 0 1 2 3 4
Y 0 1 1 4 4
Encontre, utilizando o método dos mínimos quadrados, a reta \mathrm{y}=\mathrm{b}+\mathrm{ax} que melhor de ajusta esses pontos.

Passo 1

O enunciado nos dá cinco pontos (0,0), (1,1), (2,1), (3,4) e (4,4) e pede a reta \,y=b+a x que melhor ajusta esses pontos pelo método dos mínimos quadrados. Vamos usar as fórmulas padrão
a=\frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \quad b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n},
onde n é o número de pontos.

Passo 2

Calculamos as somas necessárias:
n = 5,\quad \sum x_i = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10,\quad \sum y_i = 0 + 1 + 1 + 4 + 4 = 10,
\sum x_i^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30, \quad \sum x_i y_i = 0\cdot0 + 1\cdot1 + 2\cdot1 + 3\cdot4 + 4\cdot4 = 31.

Passo 3

Substituímos esses valores na fórmula de a:
a = \frac{5\cdot31 - 10\cdot10}{5\cdot30 - 10^2} = \frac{155 - 100}{150 - 100} = \frac{55}{50} = 1{,}1.

Passo 4

Com a=1{,}1, achamos b via
b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n} = \frac{10 - 1{,}1\cdot10}{5} = \frac{10 - 11}{5} = -0{,}2.

Resposta

A reta de mínimos quadrados que melhor ajusta os pontos é
y = -0{,}2 + 1{,}1\,x.

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