A tabela abaixo fornece os índices de inflação mensal de um determinado país.
mês janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto Outubro
I(%) 0,15 0,25 0,19 0,35 0,18 0,16 0,20 0,27 0,15
Determinar os coeficientes Li(x) do polinômio interpolador de Lagrange de ordem quatro.

Passo 1

Beleza! O enunciado quer que a gente ache os (x1,y1)=(1,0,15), (x2,y2)=(2,0,25), (x3,y3)=(3,0,19), (x4,y4)=(4,0,35), (x5,y5)=(5,0,18) do polinômio interpolador de Lagrange de grau 4 usando 5 pontos. Vamos usar os 5 primeiros meses (janeiro, fevereiro, março, abril e maio) com os pares
O conteúdo é “Polinômio de Lagrange”: a gente constrói 5 funções base que valem 1 em e 0 em todos os outros . Para isso, só precisamos saber a fórmula geral e depois plugá-la nos nossos 5 pontos.

Passo 2

Fórmula geral do Li(x) ;=;prodsubstackj=1jneq i^5x - xjxi - xj -ésimo polinômio de Lagrange (com 5 pontos, ):
Ou seja, para cada a gente faz um produto de quatro fatores, excluindo .

Passo 3

Calcular L1(x) =(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(1-2)(1-3)(1-4)(1-5) =(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(-1)(-2)(-3)(-4) =(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)24 , com :

Passo 4

Calcular L2(x) =(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(2-1)(2-3)(2-4)(2-5) =(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(1)(-1)(-2)(-3) =(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)-6 =-(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)6 , com :

Passo 5

Calcular L3(x) =(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(3-1)(3-2)(3-4)(3-5) =(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(2)(1)(-1)(-2) =(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)4 , com :

Passo 6

Calcular L4(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(4-1)(4-2)(4-3)(4-5) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(3)(2)(1)(-1) =-(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)6 , com :

Passo 7

Calcular L5(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(4)(3)(2)(1) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)24 , com :

Resposta

Os polinômios de base de Lagrange de ordem 4 são:
L1(x)&=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)24, L2(x)&=-(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)6, L3(x)&=(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)4, L4(x)&=-(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)6, L5(x)&=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)24

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