Dada a tabela
h 0,6 2,1 3,9 5,5 8,9 12,5 16,7 21,5 25,2 29,8
d 1,21 1,52 1,72 2,11 2,45 3,78 2,78 2,07 1,60 1,29
Determinar o polinômio interpolador para o conjunto de pontos dados. Demonstre, matematicamente, o método utilizado.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar um polinômio que passe por esses 10 pontos . Isso é um exercício clássico de Interpolação Polinomial, assunto de Análise Numérica ou Cálculo Numérico.
O que vamos usar:
  • A fórmula de Lagrange para construir o polinômio de grau até 9 que passa em todos os pontos.
  • Explicar de onde vem essa fórmula e como montamos cada termo sem pular etapas.

Passo 2

Vamos falar da teoria: o polinômio de Lagrange de grau no máximo P(x) ;=;sumi=0^n yi,Li(x) com Li(x);=;prodsubstackj=0jneq i^nx-xjxi-xj que interpola pontos é dado por
Cada é construído de forma que para e . Aí quando somamos , na abscissa só sobra o termo .

Passo 3

No nosso caso:
  • P(h)=sumi=0^9 di;prodsubstackj=0jneq i^9,h - hj,,hi - hj, .
  • Os são os valores de : , , …, .
  • Os são os : , , …, .
Então o polinômio interpolador é
Isso é exatamente o método de Lagrange: cada parcela “pega” o valor no ponto e zera nos outros.

Passo 4

Se você quisesse, poderia expandir esse somatório inteiro e obter os coeficientes em forma padrão . É só multiplicar tudo, mas fica enorme. Normalmente a forma de Lagrange já é a resposta prática.

Resposta

O polinômio interpolador de grau 9 que passa por boxed% P(h)=sumi=0^9 di prodsubstackj=0jneq i^9 ,h - hj,,hi - hj, é dado por
onde

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