Dada a tabela
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0,6 | 2,1 | 3,9 | 5,5 | 8,9 | 12,5 | 16,7 | 21,5 | 25,2 | 29,8 |
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1,21 | 1,52 | 1,72 | 2,11 | 2,45 | 3,78 | 2,78 | 2,07 | 1,60 | 1,29 |
Determinar o polinômio interpolador para o conjunto de pontos dados. Demonstre, matematicamente, o método utilizado.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra achar um polinômio que passe por esses 10 pontos
. Isso é um exercício clássico de Interpolação Polinomial, assunto de Análise Numérica ou Cálculo Numérico.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- A fórmula de Lagrange para construir o polinômio de grau até 9 que passa em todos os pontos.
- Explicar de onde vem essa fórmula e como montamos cada termo sem pular etapas.
Passo 2
Vamos falar da teoria: o polinômio de Lagrange de grau no máximo
que interpola
pontos
é dado por
Cada
é construído de forma que
para
e
. Aí quando somamos
, na abscissa
só sobra o termo
.
Passo 3
No nosso caso:
-
. - Os
são os valores de : , , …, . - Os
são os : , , …, .
Então o polinômio interpolador é
Isso é exatamente o método de Lagrange: cada parcela “pega” o valor
no ponto
e zera nos outros.
Passo 4
Se você quisesse, poderia expandir esse somatório inteiro e obter os coeficientes em forma padrão
. É só multiplicar tudo, mas fica enorme. Normalmente a forma de Lagrange já é a resposta prática.
Resposta
O polinômio interpolador de grau 9 que passa por
é dado por
onde