A tabela abaixo relaciona o calor específico da água em função da temperatura. Calcular o calor específico da água a uma temperatura de 25^circ C, usando um polinômio de grau 3 e:
(a) a fórmula de Lagrange;
(b) a fórmula de Newton;
© comparar os resultados obtidos nos itens anteriores com o valor real 0.99852 .
Temperatura |c|c| hline Temperatura (( ^circ C)) & Calor Específico hline 20 & 0.99907 30 & 0.99826 45 & 0.99849 55 & 0.99919 hline Calor Específico
20 0.99907
30 0.99826
45 0.99849
55 0.99919

Passo 1

O enunciado pede para estimar o calor específico da água a 25 °C a partir de quatro pontos usando interpolação polinomial de grau 3, aplicando as fórmulas de Lagrange e de Newton, e depois comparar com o valor real 0,99852. Vamos usar teoria de interpolação: no método de Lagrange montamos base de polinômios que valem 1 num ponto e 0 nos outros; no de Newton usamos diferenças divididas para construir o polinômio em forma incremental.

Passo 2

Para Lagrange, tomo os quatro pontos (xi, yi) = (20, 0,99907), (30, 0,99826), (45, 0,99849), (55, 0,99919). Defino os polinômios de base
Li(x)=prodj=0, jneq i^3x-xjxi-xj
e avalio em x=25. Os valores numéricos são:
L0(25)=0,342857,
L1(25)=0,800000,
L2(25)=-0,200000,
L3(25)=0,057143
Assim
de fato
p(25)=sumi=0^3yiLi(25) =0,99907cdot0,342857+0,99826cdot0,8+0,99849cdot(-0,2)+0,99919cdot0,057143approx0,998555

Passo 3

Para Newton, monto a tabela de diferenças divididas:
Primeira ordem:
f[x0,x1]=0,99826-0,9990730-20=-8,1times10^-5,
f[x1,x2]=1,53333times10^-5,
f[x2,x3]=7,0times10^-5
Segunda ordem:
f[x0,x1,x2]=3,85333times10^-6,
f[x1,x2,x3]=2,18667times10^-6
Terceira ordem:
f[x0,x1,x2,x3]=-4,76190times10^-8
O polinômio em forma de Newton é
p(x)=y0+(x-x0)f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]+(x-x0)(x-x1)(x-x2)f[x0,x1,x2,x3]
Avalio em x=25, obtenho
p(25)approx0,998545,
praticamente o mesmo valor do método de Lagrange.

Passo 4

Comparando com o valor real 0,99852, o erro absoluto fica em torno de 3,5×10^{-5}, ou seja, 0,0035 %, mostrando que a interpolação cúbica com esses pontos forneceu uma estimativa muito precisa.

Resposta

a) Pelo método de Lagrange: c_p(25 °C)≈0,998555
b) Pelo método de Newton: c_p(25 °C)≈0,998545
c) Valor real 0,99852 ⇒ erro absoluto ≈3,5×10^{-5} (0,0035 %)

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