A tabela abaixo relaciona o calor específico da água em função da temperatura. Calcular o calor específico da água a uma temperatura de
, usando um polinômio de grau 3 e:
(a) a fórmula de Lagrange;
(b) a fórmula de Newton;
© comparar os resultados obtidos nos itens anteriores com o valor real 0.99852 .
Temperatura
Calor Específico
20
0.99907
30
0.99826
45
0.99849
55
0.99919
(a) a fórmula de Lagrange;
(b) a fórmula de Newton;
© comparar os resultados obtidos nos itens anteriores com o valor real 0.99852 .
Temperatura
|
Calor Específico |
20 | 0.99907 |
30 | 0.99826 |
45 | 0.99849 |
55 | 0.99919 |
Passo 1
O enunciado pede para estimar o calor específico da água a 25 °C a partir de quatro pontos usando interpolação polinomial de grau 3, aplicando as fórmulas de Lagrange e de Newton, e depois comparar com o valor real 0,99852. Vamos usar teoria de interpolação: no método de Lagrange montamos base de polinômios que valem 1 num ponto e 0 nos outros; no de Newton usamos diferenças divididas para construir o polinômio em forma incremental.
Passo 2
Para Lagrange, tomo os quatro pontos (xi, yi) = (20, 0,99907), (30, 0,99826), (45, 0,99849), (55, 0,99919). Defino os polinômios de base
e avalio em x=25. Os valores numéricos são:
Assim
de fato
de fato
Passo 3
Para Newton, monto a tabela de diferenças divididas:
Primeira ordem:
Primeira ordem:
Segunda ordem:
Terceira ordem:
O polinômio em forma de Newton é
Avalio em x=25, obtenho
praticamente o mesmo valor do método de Lagrange.
Passo 4
Comparando com o valor real 0,99852, o erro absoluto fica em torno de 3,5×10^{-5}, ou seja, 0,0035 %, mostrando que a interpolação cúbica com esses pontos forneceu uma estimativa muito precisa.
Resposta
a) Pelo método de Lagrange: c_p(25 °C)≈0,998555
b) Pelo método de Newton: c_p(25 °C)≈0,998545
c) Valor real 0,99852 ⇒ erro absoluto ≈3,5×10^{-5} (0,0035 %)
b) Pelo método de Newton: c_p(25 °C)≈0,998545
c) Valor real 0,99852 ⇒ erro absoluto ≈3,5×10^{-5} (0,0035 %)