O Teorema do Valor Médio, diz que para função diferenciável
, existe um número
, tal que :
Considere
e
. Determine o
que satisfaz a igualdade acima.
Passo 1
O enunciado pede para usar uma forma explícita do Teorema do Valor Médio para a função diferenciável
, com
e
. Vamos precisar lembrar que o teorema diz
e que a derivada de
é
.
Passo 2
Substituindo
,
e
na fórmula, obtemos
Como
e
, isso vira
Passo 3
Simplificando o denominador temos
, então
Fica então a equação
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
chega-se a
Essa equação não se resolve em termos elementares, então usamos um método numérico (por exemplo, bissecção ou tentativa e erro) para achar
.
Passo 5
Para localizar a solução, avaliamos o lado esquerdo menos o direito:
.
Em ,
(negativo). Em
,
(positivo). Logo há raiz entre 1 e 2.
Em
Passo 6
Refinando por bissecção ou interpolação, encontra-se a raiz aproximada
. Testando em
dá
dentro da precisão desejada.
Resposta
A solução positiva que satisfaz a igualdade é aproximadamente x≈1,28.