O Teorema do Valor Médio, diz que para função diferenciável f(x), existe um número 0, tal que :
f(x)=f(a)+(x-a) f^prime(a+alpha(x-a))
Considere a=0 ; alpha=1 / 2 e f(x)=arctan (x). Determine o x>0 que satisfaz a igualdade acima.

Passo 1

O enunciado pede para usar uma forma explícita do Teorema do Valor Médio para a função diferenciável f(x)=arctan(x), com a=0 e alpha=1/2. Vamos precisar lembrar que o teorema diz
f(x)=f(a)+(x-a),f'l(a+alpha(x-a)r)
e que a derivada de arctan(x) é 1/(1+x^2).

Passo 2

Substituindo a=0, alpha=1/2 e f(x)=arctan(x) na fórmula, obtemos
arctan(x)=arctan(0)+x,f'l(x/2r)
Como arctan(0)=0 e f'(t)=1/(1+t^2), isso vira
arctan(x)=xcdot11+(x/2)^2 .

Passo 3

Simplificando o denominador temos 1+(x/2)^2=1+x^2/4=(x^2+4)/4, então
xcdot11+(x/2)^2=xcdot4x^2+4=4xx^2+4
Fica então a equação
arctan(x)=4xx^2+4 .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x^2+4 chega-se a
(x^2+4),arctan(x)=4x
Essa equação não se resolve em termos elementares, então usamos um método numérico (por exemplo, bissecção ou tentativa e erro) para achar x>0.

Passo 5

Para localizar a solução, avaliamos o lado esquerdo menos o direito:
g(x)=(x^2+4)arctan(x)-4x.
Em x=1, g(1)approx5cdottfracpi4-4approx3,93-4=-0,07 (negativo). Em x=2, g(2)approx8cdot1,107-8=8,86-8=0,86 (positivo). Logo há raiz entre 1 e 2.

Passo 6

Refinando por bissecção ou interpolação, encontra-se a raiz aproximada xapprox1,28. Testando em x=1,278 g(1,278)approx0 dentro da precisão desejada.

Resposta

A solução positiva que satisfaz a igualdade é aproximadamente x≈1,28.

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