resolva por Gauss-Seidel, se possível:

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver dois sistemas lineares usando o método de Gauss–Seidel (se possível). A matéria aqui é “métodos iterativos para resolver ”, em particular Gauss–Seidel. Para isso vamos precisar:
  1. Verificar a condição de convergência (dominância diagonal estrita).
  2. Escrever as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel.
  3. Escolher um chute inicial (por exemplo ) e uma tolerância (digamos ).
  4. Iterar até a diferença entre iterações ficar abaixo da tolerância.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é dominância diagonal estrita: numa matriz |aii| ;>;sumjneq i|aij| a cada linha a gente quer
Se isso vale para todas as linhas, Gauss–Seidel converge.
  • No primeiro sistema, cada linha tem . OK.
  • No segundo, em cada linha de tridiagonal temos (ou nas bordas ). Também OK.

Passo 3

Agora as fórmulas de iteração para o sistema 3×3
10 x1 - x2 - x3 = 12, - x1 + 10 x2 - x3 = 12, - x1 - x2 + 10 x3=12
Em Gauss–Seidel a gente atualiza componente a componente
x1^(k+1) = dfrac110l(12 - x2^(k) - x3^(k)r),[6pt] x2^(k+1) = dfrac110l(12 - x1^(k+1) - x3^(k)r),[6pt] x3^(k+1) = dfrac110l(12 - x1^(k+1) - x2^(k+1)r)
Chute inicial: . Tolerância .

Passo 4

Fazendo as iterações (mostro até convergir rente a x^(1)=(1.2,;1.08,;0.972) ):
k=0 →
x1^(2)=tfrac12-1.08-0.97210=0.9948, x2^(2)=tfrac12-0.9948-0.97210=1.0031, x3^(2)approx1.0000,
k=1 →
x^(3)approx(0.9990,;1.0001,;0.9999)
logo xapprox(1,,1,,1) .
k=2 →
A diferença entre e já é menor que , e vemos que a solução tende a

Passo 5

Para o sistema 4×4 tridiagonal
[
4 & -1 & 0 & 0 -1&4&-1&0 0&-1&4&-1 0&0&-1&4 x = 1111,
x

x1^(k+1) = dfrac1 + x2^(k)4,[4pt] x2^(k+1) = dfrac1 + x1^(k+1) + x3^(k)4,[4pt] x3^(k+1) = dfrac1 + x2^(k+1) + x4^(k)4,[4pt] x4^(k+1) = dfrac1 + x3^(k+1)4 ,
]
as fórmulas Gauss–Seidel são
Chute e mesma tolerância .

Passo 6

Iterando:
k=0 → xapprox(0.3636,;0.4545,;0.4545,;0.3636) .
k=1 → .
k=2 → .
k=3 → .
k=4 → .
A diferença já está abaixo de , mostrando convergência para

Resposta

Primeiro sistema: .
Segundo sistema: .

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