Use o método de Lagrange para obter o polinômio que passa pelos pontos (1,6),(2,3) e (3,-4).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de grau no máximo 2 que interpola os pontos (1,6), (2,3) e (3,-4). O conteúdo é interpolação polinomial pelo método de Lagrange, que usa bases Li(x) para garantir p(xi)=yi.

Passo 2

A forma geral do polinômio de Lagrange é
onde

Passo 3

Para i=1 temos x1=1, y1=6, x2=2, x3=3.
L1(x)=(x-2)(x-3)(1-2)(1-3)=(x-2)(x-3)(-1)(-2)=(x-2)(x-3)2
Então o termo é
y1L1(x)=6cdot(x-2)(x-3)2=3(x-2)(x-3)=3x^2-15x+18

Passo 4

Para i=2 temos x2=2, y2=3, x1=1, x3=3.
L2(x)=(x-1)(x-3)(2-1)(2-3)=(x-1)(x-3)1cdot(-1)=-(x-1)(x-3)
Então o termo é
y2L2(x)=3l[-(x-1)(x-3)r]=-3(x^2-4x+3)=-3x^2+12x-9

Passo 5

Para i=3 temos x3=3, y3=-4, x1=1, x2=2.
L3(x)=(x-1)(x-2)(3-1)(3-2)=(x-1)(x-2)2cdot1=(x-1)(x-2)2
Então o termo é
y3L3(x)=-4cdot(x-1)(x-2)2=-2(x-1)(x-2)=-2x^2+6x-4

Passo 6

Somando os três termos obtemos
p(x)=(3x^2-15x+18)+(-3x^2+12x-9)+(-2x^2+6x-4)=-2x^2+3x+5
Verificando:
;p(1)=-2+3+5=6,;p(2)=-8+6+5=3,;p(3)=-18+9+5=-4

Resposta

p(x)=-2x^2+3x+5

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