Na tabela a seguir temos os valores da velocidade v(em km / h) de um carro em uma estrada reta a cada x quilômetros. Fazendo a escolha adequada dos pontos, faça o que se pede em cada item.
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
v 0 30 45 48 46 50 62 66 60
Encontre um polinômio interpolador de grau 2 para prever a velocidade em 2,2 km.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma tabela que dá a velocidade (em km/h) de um carro para vários valores de distância (em km). A tarefa é “achar um polinômio interpolador de grau 2” que me permita prever a velocidade em km.
Conteúdo: interpolação polinomial (vamos usar a fórmula de Lagrange, que monta um polinômio de grau 2 passando por 3 pontos). Para resolver, precisamos escolher 3 pontos próximos de e aplicar a fórmula.

Passo 2

Escolhendo os 3 pontos mais próximos de :
, e .
Por que esses? Porque fica bem entre 2,0 e 2,5, e 1,5 dá um ponto extra para ter um polinômio de grau 2.

Passo 3

Fórmula de Lagrange para grau 2:
P(x)=sumi=0^2 vi,elli(x),
onde
ell0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2), ell1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2), ell2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)
Aqui:
ell0(x)=(x-2,0)(x-2,5)(1,5-2,0)(1,5-2,5) =(x-2)(x-2.5)(-0.5)(-1)=2,(x-2)(x-2.5),
ell1(x)=(x-1,5)(x-2,5)(2,0-1,5)(2,0-2,5) =(x-1.5)(x-2.5)(0.5)(-0.5)=-4,(x-1.5)(x-2.5),
ell2(x)=(x-1,5)(x-2,0)(2,5-1,5)(2,5-2,0) =(x-1.5)(x-2)(1)(0.5)=2,(x-1.5)(x-2)

Passo 4

Agora avaliamos em ell0(2.2)=2,(0.2)(-0.3)=-0.12, ell1(2.2)=-4,(0.7)(-0.3)=0.84, ell2(2.2)=2,(0.7)(0.2)=0.28 :
P(2.2)=48cdot(-0.12)+46cdot0.84+50cdot0.28 =-5.76+38.64+14=46.88
Confere que .
Então

Resposta

A velocidade prevista pelo polinômio de grau 2 em boxed46,88 km/h km é aproximadamente

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