As tabelas a seguir apresentam as quantidades de horas extras h acumuladas de cada funcionário de uma construtora. Encontre o polinômio interpolador e a previsão solicitada.
Cláudia trabalhou 3 dias e folgou em dias intercalados. Quantas horas extras ela teria feito se não tivesse nos dias de folga?
x (dias) 1 3 5
h 0,3 1,8 3,8

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem as horas extras acumuladas de uma funcionária nos dias 1, 3 e 5:
c|ccc x (dias)&1&3&5hline h (horas)&0,3&1,8&3,8
O objetivo é:
  1. Encontrar o polinômio interpolador (grau 2, já que temos 3 pontos).
  2. “Prever” quantas horas extras ela faria nos dias em que tirou folga (dias 2 e 4), ou seja, avaliar esse polinômio em x=2 e x=4.
    Para isso vamos usar a fórmula de Lagrange, que diz que o interpolador é
P(x)=sumi=1^3 hi,elli(x),
com
elli(x)=prodjneq ix - xjxi - xj,

Passo 2

Calcamos cada base de Lagrange:
  1. Para (x1,h1)=(1,0,3):
ell1(x)=(x-3)(x-5)(1-3)(1-5)=(x-3)(x-5)8,
logo o termo é
0,3,ell1(x)=0,3(x-3)(x-5)8
  1. Para (x2,h2)=(3,1,8):
ell2(x)=(x-1)(x-5)(3-1)(3-5)=-(x-1)(x-5)4,
então
1,8,ell2(x)=-1,8(x-1)(x-5)4
  1. Para (x3,h3)=(5,3,8):
ell3(x)=(x-1)(x-3)(5-1)(5-3)=(x-1)(x-3)8,
e
3,8,ell3(x)=3,8(x-1)(x-3)8

Passo 3

Somando tudo e simplificando (juntando termos em x^2, x e constante) dá:
P(x)=0,0625,x^2+0,5,x-0,2625

Passo 4

Agora é só “prever” nos dias 2 e 4:
P(2)=0,0625cdot2^2+0,5cdot2-0,2625=0,9875,
P(4)=0,0625cdot4^2+0,5cdot4-0,2625=2,7375
Ou seja, se ela tivesse trabalhado nos dias 2 e 4, teria feito cerca de 0,99 h no dia 2 e 2,74 h no dia 4.

Resposta

Polinômio interpolador:
boxedP(x)=0,0625,x^2+0,5,x-0,2625
Previsão de horas extras nos dias de folga:
boxedP(2)approx0,9875 h, P(4)approx2,7375 h

Exercícios relacionados